Em cada item, a expressão da esquerda define (ou ) implicitamente. Verifique que tais funções são soluções implícitas da equação diferencial dada.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função dada implicitamente, ou seja, definida pela equação , é uma solução da equação diferencial . Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita e substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a a partir da equação . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia nas derivadas, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Então:

Passo 5

Agora que temos , vamos comparar com a equação diferencial dada:
Podemos reescrever a equação diferencial na forma de :

Resposta

Como a derivada obtida da função implícita coincide com a derivada da equação diferencial, a função é, de fato, uma solução implícita da equação diferencial .

Exercícios relacionados

Resolva as inequações abaixo.
(f) .
Resolva as inequações abaixo.
(a) .
Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Determine para os valores de abaixo.
(e) .