Em cada item, a expressão da esquerda define y = y(x) (ou x = x(t) ) implicitamente. Verifique que tais funções são soluções implícitas da equação diferencial dada.
-2 x^2 y + y^2 = 1 ; 2 x y d x + (x^2 - y) d y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função dada implicitamente, ou seja, definida pela equação , é uma solução da equação diferencial . Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita e substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y em relação a x a partir da equação . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x:

Passo 3

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia nas derivadas, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Então:

Passo 5

Agora que temos , vamos comparar com a equação diferencial dada:
Podemos reescrever a equação diferencial na forma de :

Resposta

Como a derivada obtida da função implícita coincide com a derivada da equação diferencial, a função é, de fato, uma solução implícita da equação diferencial .

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