Em cada item, a expressão da esquerda define
(ou
) implicitamente. Verifique que tais funções são soluções implícitas da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função dada implicitamente, ou seja, definida pela equação
, é uma solução da equação diferencial
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita e substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
a partir da equação
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia nas derivadas, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, vamos comparar com a equação diferencial dada:
Podemos reescrever a equação diferencial na forma de
:
Resposta
Como a derivada obtida da função implícita coincide com a derivada da equação diferencial, a função
é, de fato, uma solução implícita da equação diferencial
.
Exercícios relacionados
Resolva as inequações abaixo.
(f) .
(f)
Resolva as inequações abaixo.
(a) .
(a)
Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Determine
para os valores de
abaixo.
(e) .
(e)