Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
y = C e^x / (1 + C e^x) ; d y / d x = y (1 - y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente verificar se toda a família de funções dada por é uma solução da equação diferencial . Isso envolve entender a derivada da função e ver se ela satisfaz a equação. Vamos precisar usar regras de derivação e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente. Temos:
A derivada de será:
Calculando as derivadas das partes:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a expressão de :

Passo 4

Agora que temos e , vemos que:

Resposta

Sim, toda a família de funções satisfaz a equação diferencial .

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