Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente verificar se toda a família de funções dada por
é uma solução da equação diferencial
. Isso envolve entender a derivada da função e ver se ela satisfaz a equação. Vamos precisar usar regras de derivação e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função
é uma fração, então vamos usar a regra do quociente. Temos:
A derivada de
será:
Calculando as derivadas das partes:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a expressão de
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vemos que:
Resposta
Sim, toda a família de funções
satisfaz a equação diferencial
.