Para cada item faça um esboço do campo vetorial dado.
(d) F = 1/2 i + (y - x) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos um esboço do campo vetorial dado por . Isso está relacionado ao tópico de campos vetoriais, que são representações gráficas de vetores em cada ponto do espaço. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente do vetor influencia a direção e o tamanho das setas no campo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial F. Ele está escrito na forma , onde:
Isso significa que, em qualquer ponto (x, y) do plano, o vetor F tem uma componente constante na direção x de 1/2 e uma componente na direção y que depende da diferença entre y e x.

Passo 3

Agora, vamos analisar como essas componentes afetam o campo vetorial:
  • A componente indica que, independentemente do ponto (x, y), o vetor terá sempre a mesma velocidade horizontal para a direita.
  • A componente varia dependendo da posição. Se , é positivo, então o vetor aponta para cima. Se , é negativo, apontando para baixo. Se , , então o vetor não tem componente vertical.

Passo 4

Com base nessa análise, podemos descrever o esboço do campo vetorial:
  • Em toda parte, as setas terão um movimento constante para a direita devido a .
  • A direção vertical das setas dependerá da relação entre y e x:
    • Acima da linha , as setas apontam para cima.
    • Abaixo da linha , apontam para baixo.
    • Na linha , as setas são horizontais.
Isso cria um padrão onde as setas se movem consistentemente para a direita, mas mudam de direção verticalmente ao cruzar a linha .

Resposta

O esboço do campo vetorial apresenta setas que sempre apontam para a direita com uma componente horizontal constante de 1/2. Verticalmente, as setas apontam para cima quando , para baixo quando e são horizontais na linha . Assim, o campo mostra uma transição na direção vertical das setas ao longo da linha , mantendo sempre o movimento horizontal constante.

Exercícios relacionados

Sejam r = x i + y j + z k e r = ||r||. Verifique as identidades.
(a) nabla . r = 3.
Calcule os limites:
(e) lim x pi3 cos (x+pi6)x-pi3
Verifique se as integrais abaixo são convergentes.
(b) [13 pontos ] integral0^pi sen xraizx d x
Seja f(x)= 3-x, & se x<2 x2+1, & se x>2
(a) Determine lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x).