Sejam r = x i + y j + z k e r = ||r||. Verifique as identidades.
(a) nabla . r = 3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar a identidade , onde . Esse problema está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao conceito de divergente. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição de divergente a um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o divergente de um vetor. O divergente de um campo vetorial é dado por:
Isso nos diz como o campo vetorial está se espalhando a partir de um ponto específico.

Passo 3

Agora, aplicamos essa definição ao nosso vetor . Identificamos as componentes do vetor:

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente:

Passo 5

Somamos as derivadas parciais conforme a definição do divergente:

Resposta

Portanto, verificamos que .

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
(e) lim x pi3 cos (x+pi6)x-pi3
Utilize o Teorema de Green para determinar a área limitada pela curva (b x)² + (a y)² = (a b)², com a * b > 0.
Para cada item faça um esboço do campo vetorial dado.
(d) F = 1/2 i + (y - x) j
Verifique se as integrais abaixo são convergentes.
(b) [13 pontos ] integral0^pi sen xraizx d x