Sejam
e
. Verifique as identidades.
(a)
.
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar a identidade
, onde
. Esse problema está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao conceito de divergente. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição de divergente a um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o divergente de um vetor. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Isso nos diz como o campo vetorial está se espalhando a partir de um ponto específico.
Passo 3
Agora, aplicamos essa definição ao nosso vetor
. Identificamos as componentes do vetor:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente:
Passo 5
Somamos as derivadas parciais conforme a definição do divergente:
Resposta
Portanto, verificamos que
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
(e)
(e)
Utilize o Teorema de Green para determinar a área limitada pela curva
, com
.
Para cada item faça um esboço do campo vetorial dado.
(d)
(d)
Verifique se as integrais abaixo são convergentes.
(b) pontos
(b)