Calcule os limites:
(e) lim x pi3 cos (x+pi6)x-pi3

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente tratando de limites que resultam em formas indeterminadas. Vamos precisar usar a Regra de L’Hospital para resolver esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o limite resulta em uma forma indeterminada. Substituindo cos(pi3 + pi6) = cos(pi2) = 0 :
x - pi3 = pi3 - pi3 = 0
E o denominador:
Então, temos , que é uma forma indeterminada.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada , podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que se resulta em ou , então o limite pode ser calculado como , desde que esse novo limite exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador ddx cos(x + pi6) = -sin(x + pi6) :
ddx (x - pi3) = 1
Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite original se transforma em:
lim x pi3 -sin(x + pi6)1

Passo 6

Vamos substituir -sin(pi3 + pi6) = -sin(pi2) por -1 na expressão obtida:
E sabemos que , então:

Resposta

Exercícios relacionados