Em cada item, faça o que se pede. © pontos Determine uma expansão em série de potências para a função definida por em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma expansão em série de potências para a função em torno de . Isso significa que vamos reescrever a função como uma soma infinita de termos que envolvem potências de . Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função exponencial da forma pode ser escrita usando a base assim: . No nosso caso, , então temos:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a expansão em série de potências da função exponencial , que é:
Onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 4

Substituindo na série da função exponencial, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, podemos escrever a série de potências para como:

Resposta

A expansão em série de potências para em torno de é:

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