Em cada item, faça o que se pede. ©
pontos
Determine uma expansão em série de potências para a função definida por
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma expansão em série de potências para a função
em torno de
. Isso significa que vamos reescrever a função como uma soma infinita de termos que envolvem potências de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e a função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer função exponencial da forma
pode ser escrita usando a base
assim:
. No nosso caso,
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a expansão em série de potências da função exponencial
, que é:
Onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Passo 4
Substituindo
na série da função exponencial, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos escrever a série de potências para
como:
Resposta
A expansão em série de potências para
em torno de
é: