Em cada item, faça o que se pede.
(a) [10 pontos] A sequência
converge? Justifique sua resposta.
(a) [10 pontos] A sequência
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O conteúdo envolvido aqui é sobre convergência de sequências. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e analisar o comportamento dos termos dessa sequência conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
aumenta indefinidamente, os termos
se aproximam cada vez mais de
. Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência dada:
Observamos que há dois componentes principais aqui:
- O termo
que alterna o sinal de a cada termo. - A fração
, cujo comportamento vamos investigar conforme cresce.
Passo 4
Primeiro, vamos simplificar a fração para entender melhor o comportamento quando
tende ao infinito:
À medida que
cresce, o termo
se aproxima de zero. Portanto:
Passo 5
Agora, voltando à sequência original:
Isso significa que, para valores grandes de
, os termos da sequência se aproximam de
ou
, alternando seus sinais.
Passo 6
Para que a sequência converja, os termos
precisam se aproximar de um único valor
sem oscilar entre valores diferentes. Porém, aqui temos que os termos estão alternando entre positivos e negativos próximos a
e
, respectivamente. Isso indica que a sequência não está se aproximando de um único valor, mas sim oscilando entre dois valores.
Resposta
A sequência
não converge, pois os termos oscilam entre valores positivos e negativos próximos a
e
à medida que
aumenta, não se aproximando de um único limite.
Exercícios relacionados
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
(a)
(a)
Seja
(a) Determine e
.
(a) Determine
Calcule a integral
, onde
é a hélice
e
.
Em cada item, faça o que se pede.
(b) [15 pontos] Considere a sequência , onde
e
. Em cada item, faça o que se pede.
(b.1) [5 pontos] Liste os 4 primeiros termos da sequência ;
(b.2) [5 pontos] Verifique se a sequência é decrescente. Justifique sua resposta.
(b.3) [5 pontos] A sequência converge ou diverge? Justifique sua resposta.
(b) [15 pontos] Considere a sequência
(b.1) [5 pontos] Liste os 4 primeiros termos da sequência
(b.2) [5 pontos] Verifique se a sequência é decrescente. Justifique sua resposta.
(b.3) [5 pontos] A sequência