Em cada item, faça o que se pede.
(a) [10 pontos] A sequência {(-1)^n 4 n / (2 n + 1)} converge? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O conteúdo envolvido aqui é sobre convergência de sequências. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e analisar o comportamento dos termos dessa sequência conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge para um limite se, à medida que aumenta indefinidamente, os termos se aproximam cada vez mais de . Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência dada:
Observamos que há dois componentes principais aqui:
  1. O termo que alterna o sinal de a cada termo.
  2. A fração , cujo comportamento vamos investigar conforme cresce.

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar a fração para entender melhor o comportamento quando tende ao infinito:
À medida que cresce, o termo se aproxima de zero. Portanto:

Passo 5

Agora, voltando à sequência original:
Isso significa que, para valores grandes de , os termos da sequência se aproximam de ou , alternando seus sinais.

Passo 6

Para que a sequência converja, os termos precisam se aproximar de um único valor sem oscilar entre valores diferentes. Porém, aqui temos que os termos estão alternando entre positivos e negativos próximos a e , respectivamente. Isso indica que a sequência não está se aproximando de um único valor, mas sim oscilando entre dois valores.

Resposta

A sequência não converge, pois os termos oscilam entre valores positivos e negativos próximos a e à medida que aumenta, não se aproximando de um único limite.

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