Calcule a integral
, onde
é a hélice
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício perguntou. A gente precisa calcular a integral
, onde
é uma hélice dada por , com
variando de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional, onde parametrizamos a curva e substituímos na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas paramétricas da hélice. A função vetorial
já está dada:
Aqui,
, e
. Isso é importante porque vamos precisar dessas expressões para substituir na integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas das coordenadas em relação a
, ou seja,
,
e
. Vamos calcular:
Essas derivadas representam as componentes do vetor tangente à curva na hélice.
Passo 4
Vamos substituir tudo na integral original. A integral de linha no espaço é dada por:
Substituindo as funções que já temos:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- Para , lembramos que :
- Para
, usamos integração por partes:
Avaliando de
a
:
- Para
:
Avaliando de
a
:
Resposta
Somando todos os termos integrados:
Portanto, o valor da integral é
.