Calcule a integral integralC-y dx+z dy+2 x dz, onde C é a hélice r(t)=cos t i+sen t j+t k e 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício perguntou. A gente precisa calcular a integral integralC -y , dx + z , dy + 2x , dz, onde C é uma hélice dada por , com r(t) = cos t i + sen t j + t k variando de t a 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional, onde parametrizamos a curva e substituímos na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas paramétricas da hélice. A função vetorial r(t) já está dada:
Aqui, r(t) = cos t , i + sen t , j + t , k , e x(t) = cos t. Isso é importante porque vamos precisar dessas expressões para substituir na integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas das coordenadas em relação a t, ou seja, dx/dt, dy/dt e dz/dt. Vamos calcular:
Essas derivadas representam as componentes do vetor tangente à curva na hélice.

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. A integral de linha no espaço é dada por:
integralt=0^2pi [ -y(t) dxdt + z(t) dydt + 2x(t) dzdt ] dt
Substituindo as funções que já temos:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para , lembramos que :
  1. Para sen^2 t, usamos integração por partes:
Avaliando de sen^2 t = 1 - cos 2t2 a integral0^2pi sen^2 t , dt = integral0^2pi 1 - cos 2t2 , dt = 12 [ t - sen 2t2 ]0^2pi = 12 (2pi - 0) = pi :
  1. Para t cos t:
Avaliando de integral t cos t , dt = t sen t - integral sen t , dt = t sen t + cos t a 0:

Resposta

Somando todos os termos integrados:
pi + 0 + 0 = pi
Portanto, o valor da integral é pi.

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