Em cada item, faça o que se pede.
(b) [15 pontos] Considere a sequência a_n, onde a1 = 3 e a_{n+1} = 3/(n+1) * a_{n}. Em cada item, faça o que se pede.
(b.1) [5 pontos] Liste os 4 primeiros termos da sequência a_n;
(b.2) [5 pontos] Verifique se a sequência é decrescente. Justifique sua resposta.
(b.3) [5 pontos] A sequência a_n converge ou diverge? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza! O exercício fala sobre uma sequência, que é basicamente uma lista de números organizados em ordem. Aqui, a sequência é definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A matéria que vamos usar é sequências recursivas, e para resolver vamos precisar aplicar fórmulas de recorrência, analisar se a sequência está decrescendo e verificar se ela converge (se aproxima de um valor específico) ou diverge (se afasta ou não tem limite).

Passo 2

Vamos começar listando os 4 primeiros termos da sequência .
A sequência é definida por:
Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo ( ):
    • Já sabemos que .
  2. Segundo termo ( ):
    • Usamos a fórmula: .
  3. Terceiro termo ( ):
    • Usamos a fórmula: .
  4. Quarto termo ( ):
    • Usamos a fórmula: .
Então, os quatro primeiros termos são: , 9/2, 9/2 e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é decrescente, ou seja, se cada termo é menor que o anterior.
Observando os termos que já calculamos:
  • De para : aqui aumenta.
  • De para : permanece igual.
  • De para : aqui diminui.
Como nem todos os termos são menores que os anteriores, a sequência não é estritamente decrescente. Além disso, teve até um aumento do primeiro para o segundo termo, o que já desqualifica a sequência como decrescente.

Passo 4

Vamos ver se a sequência converge ou diverge. Isso significa verificar se a sequência se aproxima de algum número específico quando n cresce sem limite.
A fórmula da sequência é:
Para entender o comportamento, podemos tentar encontrar um padrão ou uma expressão geral. Observando os termos:
Percebe-se que está sendo multiplicado por a cada passo. À medida que n aumenta, tende a zero. Isso sugere que os termos da sequência tendem a diminuir e possivelmente se aproximar de zero.
De fato, podemos provar que . Conforme n cresce, o fator multiplicativo torna-se muito pequeno, fazendo com que se aproxime de zero.

Resposta

(a.1) Os quatro primeiros termos da sequência são: , 9/2, 9/2 e .
(a.2) A sequência não é decrescente, pois inicialmente o segundo termo é maior que o primeiro.
(a.3) A sequência converge para 0.

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