Em cada item, faça o que se pede.
(b) [15 pontos] Considere a sequência
, onde
e
. Em cada item, faça o que se pede.
(b.1) [5 pontos] Liste os 4 primeiros termos da sequência
;
(b.2) [5 pontos] Verifique se a sequência é decrescente. Justifique sua resposta.
(b.3) [5 pontos] A sequência
converge ou diverge? Justifique sua resposta.
(b) [15 pontos] Considere a sequência
(b.1) [5 pontos] Liste os 4 primeiros termos da sequência
(b.2) [5 pontos] Verifique se a sequência é decrescente. Justifique sua resposta.
(b.3) [5 pontos] A sequência
Passo 1
Beleza! O exercício fala sobre uma sequência, que é basicamente uma lista de números organizados em ordem. Aqui, a sequência é definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A matéria que vamos usar é sequências recursivas, e para resolver vamos precisar aplicar fórmulas de recorrência, analisar se a sequência está decrescendo e verificar se ela converge (se aproxima de um valor específico) ou diverge (se afasta ou não tem limite).
Passo 2
Vamos começar listando os 4 primeiros termos da sequência
.
A sequência é definida por:
Vamos calcular passo a passo:
-
Primeiro termo (
): - Já sabemos que
.
- Já sabemos que
-
Segundo termo (
): - Usamos a fórmula:
.
- Usamos a fórmula:
-
Terceiro termo (
): - Usamos a fórmula:
.
- Usamos a fórmula:
-
Quarto termo (
): - Usamos a fórmula:
.
- Usamos a fórmula:
Então, os quatro primeiros termos são:
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é decrescente, ou seja, se cada termo é menor que o anterior.
Observando os termos que já calculamos:
- De
para : aqui aumenta. - De
para : permanece igual. - De
para : aqui diminui.
Como nem todos os termos são menores que os anteriores, a sequência não é estritamente decrescente. Além disso, teve até um aumento do primeiro para o segundo termo, o que já desqualifica a sequência como decrescente.
Passo 4
Vamos ver se a sequência converge ou diverge. Isso significa verificar se a sequência se aproxima de algum número específico quando
cresce sem limite.
A fórmula da sequência é:
Para entender o comportamento, podemos tentar encontrar um padrão ou uma expressão geral. Observando os termos:
Percebe-se que
está sendo multiplicado por
a cada passo. À medida que
aumenta,
tende a zero. Isso sugere que os termos da sequência tendem a diminuir e possivelmente se aproximar de zero.
De fato, podemos provar que
. Conforme
cresce, o fator multiplicativo
torna-se muito pequeno, fazendo com que
se aproxime de zero.
Resposta
(a.1) Os quatro primeiros termos da sequência são:
,
,
e
.
(a.2) A sequência não é decrescente, pois inicialmente o segundo termo é maior que o primeiro.
(a.3) A sequência converge para
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, onde
é a hélice
e
.
Em cada item, faça o que se pede.
(a) [10 pontos] A sequência converge? Justifique sua resposta.
(a) [10 pontos] A sequência
Em cada item, faça o que se pede
(a) [10 pontos] A série é convergente? Em caso afirmativo, determine seu valor.
(a) [10 pontos] A série
Em cada item, faça o que se pede
(b) [10 pontos] A série é convergente? Justifique sua resposta.
(b) [10 pontos] A série