Mostre, usando a definição formal (ou seja, via varepsilon e de ) que lim x p f(x)=l nos casos seguintes.
(a) f(x)=4 x-3, p=2, l=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Isso significa usar a definição de limite, que envolve os símbolos e . Basicamente, vamos mostrar que para qualquer pequena distância que você escolher perto de , a gente consegue encontrar uma distância perto de para que fique dentro de de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que queremos provar: . Segundo a definição formal, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão |4x - 3 - 5| = |4x - 8| = 4|x - 2| .
Então, queremos que .

Passo 4

Agora, a gente precisa encontrar 4|x - 2| < varepsilon implies |x - 2| < varepsilon4 de forma que . Para isso, vamos resolver para :
Então, se escolhermos , isso garantirá que .

Passo 5

Por isso, para qualquer |4x - 3 - 5| = |4x - 8| = 4|x - 2| < 4 cdot varepsilon4 = varepsilon , se escolhermos , sempre que , teremos:

Resposta

Assim, demonstramos formalmente que usando a definição de e .

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Seja f(x)= 3-x, & se x<2 x2+1, & se x>2
(a) Determine lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x).
Verifique se as integrais abaixo são convergentes.
(b) [13 pontos ] integral0^pi sen xraizx d x
Em cada item, faça o que se pede.
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