Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Isso significa usar a definição de limite, que envolve os símbolos
e
. Basicamente, vamos mostrar que para qualquer pequena distância
que você escolher perto de
, a gente consegue encontrar uma distância
perto de
para que
fique dentro de
de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que queremos provar:
. Segundo a definição formal, precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
.
Então, queremos que
.
Passo 4
Agora, a gente precisa encontrar
de forma que
. Para isso, vamos resolver para
:
Então, se escolhermos
, isso garantirá que
.
Passo 5
Por isso, para qualquer
, se escolhermos
, sempre que
, teremos:
Resposta
Assim, demonstramos formalmente que
usando a definição de
e
.
Exercícios relacionados
Seja
(a) Determine e
.
(a) Determine
Verifique se as integrais abaixo são convergentes.
(b) pontos
(b)
Em cada item, faça o que se pede.
(a) [10 pontos] A sequência converge? Justifique sua resposta.
(a) [10 pontos] A sequência
Calcule a integral
, onde
é a hélice
e
.