Em cada item, faça o que se pede
(a) [10 pontos] A série sumn=1^infty 5^n 7^n-1 é convergente? Em caso afirmativo, determine seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se a série converge. A matéria envolvida aqui é a de séries geométricas, e para resolver isso, vamos precisar identificar se a série é geométrica e qual é a razão dela.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. O termo geral é 5^n cdot 7^n-1 = 5^n cdot 7^n7 = (5 cdot 7)^n7 = 35^n7 . Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
sumn=1^infty 35^n7
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos reconhecer que essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty a cdot r^n
onde a = 35^17 = 5 e r = 35 é o primeiro termo e é a razão da série. Comparando com a nossa série, vemos que:

Passo 4

Para determinar se uma série geométrica converge, usamos o critério de convergência: a série converge se e somente se o valor absoluto da razão |35| = 35 > 1 for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso, , então:

Passo 5

Como a razão tem valor absoluto maior que 1, segundo o critério das séries geométricas, a série não converge. Isso significa que a soma dos termos dessa série cresce indefinidamente e não tem um valor finito.

Resposta

A série não é convergente.

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