Em cada item, faça o que se pede
(a) [10 pontos] A série
é convergente? Em caso afirmativo, determine seu valor.
(a) [10 pontos] A série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se a série
converge. A matéria envolvida aqui é a de séries geométricas, e para resolver isso, vamos precisar identificar se a série é geométrica e qual é a razão dela.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. O termo geral é
. Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos reconhecer que essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde
é o primeiro termo e
é a razão da série. Comparando com a nossa série, vemos que:
Passo 4
Para determinar se uma série geométrica converge, usamos o critério de convergência: a série converge se e somente se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
.
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Como a razão
tem valor absoluto maior que 1, segundo o critério das séries geométricas, a série não converge. Isso significa que a soma dos termos dessa série cresce indefinidamente e não tem um valor finito.
Resposta
A série
não é convergente.