Em cada item, faça o que se pede
(b) [10 pontos] A série
é convergente? Justifique sua resposta.
(b) [10 pontos] A série
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
e precisa descobrir se ela converge ou não. Para isso, vamos usar um método chamado Teste de Comparação, que é bem útil pra comparar séries com outras que a gente já conhece como convergentes ou divergentes.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada geral nos termos da série:
. Nosso objetivo é simplificar isso pra entender melhor o comportamento da série quando
fica muito grande.
Quando
é grande, os termos de menor grau (como o
tanto no numerador quanto no denominador) ficam menos importantes. Então, podemos simplificar aproximando
por
e
por
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Como
, a série
converge.
Passo 4
Como a nossa série original
se comporta de forma semelhante à série
quando
é grande, e sabemos que a série comparada converge, podemos concluir pelo Teste de Comparação que a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Em cada item, faça o que se pede
(a) [10 pontos] A série é convergente? Em caso afirmativo, determine seu valor.
(a) [10 pontos] A série
Em cada item, faça o que se pede.
(b) [15 pontos] Considere a sequência , onde
e
. Em cada item, faça o que se pede.
(b.1) [5 pontos] Liste os 4 primeiros termos da sequência ;
(b.2) [5 pontos] Verifique se a sequência é decrescente. Justifique sua resposta.
(b.3) [5 pontos] A sequência converge ou diverge? Justifique sua resposta.
(b) [15 pontos] Considere a sequência
(b.1) [5 pontos] Liste os 4 primeiros termos da sequência
(b.2) [5 pontos] Verifique se a sequência é decrescente. Justifique sua resposta.
(b.3) [5 pontos] A sequência
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
(d)
(d)
Calcule
, onde
é o limite da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e