Em cada item, faça o que se pede
(b) [10 pontos] A série sumn=1^infty n+1n^3+1 é convergente? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa descobrir se ela converge ou não. Para isso, vamos usar um método chamado Teste de Comparação, que é bem útil pra comparar séries com outras que a gente já conhece como convergentes ou divergentes.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral nos termos da série: n+1n^3+1 approx nn^3 = 1n^2 . Nosso objetivo é simplificar isso pra entender melhor o comportamento da série quando fica muito grande.
Quando é grande, os termos de menor grau (como o tanto no numerador quanto no denominador) ficam menos importantes. Então, podemos simplificar aproximando por e por . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série converge.

Passo 4

Como a nossa série original se comporta de forma semelhante à série quando é grande, e sabemos que a série comparada converge, podemos concluir pelo Teste de Comparação que a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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