Em cada item, faça o que se pede
(b) [10 pontos] A série sumn=1^infty n+1n^3+1 é convergente? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa descobrir se ela converge ou não. Para isso, vamos usar um método chamado Teste de Comparação, que é bem útil pra comparar séries com outras que a gente já conhece como convergentes ou divergentes.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral nos termos da série: n+1n^3+1 approx nn^3 = 1n^2 . Nosso objetivo é simplificar isso pra entender melhor o comportamento da série quando fica muito grande.
Quando é grande, os termos de menor grau (como o tanto no numerador quanto no denominador) ficam menos importantes. Então, podemos simplificar aproximando por e por . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série converge.

Passo 4

Como a nossa série original se comporta de forma semelhante à série quando é grande, e sabemos que a série comparada converge, podemos concluir pelo Teste de Comparação que a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Em cada item, faça o que se pede
(a) [10 pontos] A série sumn=1^infty 5^n 7^n-1 é convergente? Em caso afirmativo, determine seu valor.
Em cada item, faça o que se pede.
(b) [15 pontos] Considere a sequência a_n, onde a1 = 3 e a_{n+1} = 3/(n+1) * a_{n}. Em cada item, faça o que se pede.
(b.1) [5 pontos] Liste os 4 primeiros termos da sequência a_n;
(b.2) [5 pontos] Verifique se a sequência é decrescente. Justifique sua resposta.
(b.3) [5 pontos] A sequência a_n converge ou diverge? Justifique sua resposta.
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via varepsilon e de ) que lim x p f(x)=l nos casos seguintes.
(d) f(x)=1x, p=1, l=1
Calcule ointC y^2 dx+3 x y dy, onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x^2+y^2=2 e x^2+y^2=6