Mostre, usando a definição formal (ou seja, via varepsilon e de ) que lim x p f(x)=l nos casos seguintes.
(d) f(x)=1x, p=1, l=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a definição formal com varepsilon e de. O problema quer que mostremos que lim x 1 1x = 1. Para isso, precisaremos relacionar qualquer varepsilon > 0 com um de 0 tal que, sempre que 0 < |x - 1| < de, a expressão |1x - 1| < varepsilon seja verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |1x - 1| < varepsilon. Vamos manipular essa expressão para encontrar uma relação com |x - 1|.
| 1x - 1 | = | 1 - xx | = |x - 1||x|
Então, para que |x - 1||x| < varepsilon, precisamos controlar |x|.

Passo 3

Para evitar problemas com |x| no denominador, vamos garantir que x não seja muito próximo de 0. Como estamos olhando para x próximo de 1, podemos restringir x a valores em um intervalo, por exemplo, onde |x - 1| < 1, o que implica 0 < x < 2. Assim, |x| > 12 nesse intervalo.

Passo 4

Com essa restrição, temos:
|x - 1||x| < |x - 1|12 = 2|x - 1|
Para que 2|x - 1| < varepsilon, basta que |x - 1| < varepsilon2.

Passo 5

Então, definimos de como o mínimo entre 1 e varepsilon2:
de
Com esse de, garantimos que se 0 < |x - 1| < de, então |1x - 1| < varepsilon.

Resposta

Portanto, mostramos que para todo varepsilon > 0, existe um de tal que, se 0 < |x - 1| < de, então | 1x - 1 | < varepsilon. Assim, de acordo com a definição formal, lim x 1 1x = 1.

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