Mostre, usando a definição formal (ou seja, via e ) que nos casos seguintes.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando a definição formal com e . O problema quer que mostremos que . Para isso, precisaremos relacionar qualquer com um tal que, sempre que , a expressão seja verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Vamos manipular essa expressão para encontrar uma relação com .
Então, para que |x - 1||x| < varepsilon, precisamos controlar |x|.
Passo 3
Para evitar problemas com |x| no denominador, vamos garantir que x não seja muito próximo de 0. Como estamos olhando para x próximo de 1, podemos restringir x a valores em um intervalo, por exemplo, onde |x - 1| < 1, o que implica 0 < x < 2. Assim, |x| > 12 nesse intervalo.
Passo 4
Com essa restrição, temos:
|x - 1||x| < |x - 1|12 = 2|x - 1|
Para que 2|x - 1| < varepsilon, basta que |x - 1| < varepsilon2.
Passo 5
Então, definimos de como o mínimo entre 1 e varepsilon2:
de
Com esse de, garantimos que se 0 < |x - 1| < de, então |1x - 1| < varepsilon.
Resposta
Portanto, mostramos que para todo varepsilon > 0, existe um de tal que, se 0 < |x - 1| < de, então | 1x - 1 | < varepsilon. Assim, de acordo com a definição formal, lim x 1 1x = 1.