Calcule as integrais abaixo: a) integral-1^2 integral1^z^2 integral0^y+z 3 y z^2 d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral tripla:
integral-1^2 integral1^z^2 integral0^y+z 3 y z^2 , dx , dy , dz
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral múltiplo, especificamente uma integral tripla. Isso significa que vamos integrar a função em relação a três variáveis: , e , dentro de certos limites para cada uma delas. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração:
  • Para integral1^2 integral1^z^2 integral0^y+z 3 y z^2 , dx , dy , dz : de a
  • Para : de a
  • Para : de a
No entanto, precisamos verificar se esses limites fazem sentido. Observe que quando (ou seja, para entre e ), o limite superior de ( ) é menor que o limite inferior ( ). Isso não é possível, então essa parte da integral não contribui para o resultado final. Portanto, a integral só é válida quando , ou seja, para ou .
Como varia de a , e considerando que é apenas um ponto, a integral efetivamente vale apenas para de a . Vamos ajustar os limites da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função integral0^y+z 3 y z^2 , dx = 3 y z^2 cdot (y + z - 0) = 3 y z^2 (y + z) em relação a integral1^2 integral1^z^2 3 y z^2 (y + z) , dy , dz . Como não depende de , a integral em relação a fica mais simples:
Então, nossa integral agora é:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
3 y z^2 (y + z) = 3 y z^2 y + 3 y z^2 z = 3 y^2 z^2 + 3 y z^3
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral1^z^2 (3 y^2 z^2 + 3 y z^3) , dy , de 3 z^2 integral1^z^2 y^2 , dy = 3 z^2 [ y^33 ]1^z^2 = 3 z^2 ( (z^2)^33 - 13 ) = z^2 ( z^6 - 1 ) a 3 z^3 integral1^z^2 y , dy = 3 z^3 [ y^22 ]1^z^2 = 3 z^3 ( (z^2)^22 - 12 ) = 3 z^3 ( z^4 - 12 ) = 3 z^3 (z^4 - 1)2 :
z^2 (z^6 - 1) + 3 z^3 (z^4 - 1)2
Integrando termo a termo:
  1. Para :
  1. Para :
Somando os dois resultados:

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos e simplificar a expressão:
z^2 z^6 - z^2 + 3 z^3 z^4 - 3 z^32 = z^8 - z^2 + 3 z^7 - 3 z^32
Para facilitar a integração, vamos juntar tudo:
2 z^82 - 2 z^22 + 3 z^72 - 3 z^32 = 2 z^8 + 3 z^7 - 2 z^2 - 3 z^32

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral1^2 2 z^8 + 3 z^7 - 2 z^2 - 3 z^32 , dz = 12 integral1^2 (2 z^8 + 3 z^7 - 2 z^2 - 3 z^3) , dz , de 2 integral z^8 , dz = 2 cdot z^99 = 2 z^99 a 3 integral z^7 , dz = 3 cdot z^88 = 3 z^88 :
-2 integral z^2 , dz = -2 cdot z^33 = -2 z^33
Integrando termo a termo:
  1. Para -3 integral z^3 , dz = -3 cdot z^44 = -3 z^44 :
2 z^99 + 3 z^88 - 2 z^33 - 3 z^44
  1. Para 12 ( 2 z^99 + 3 z^88 - 2 z^33 - 3 z^44 ) = z^99 + 3 z^816 - z^33 - 3 z^48 :
  1. Para :
  1. Para :
Somando todos os termos:
Agora, multiplicamos por :

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão de [ z^99 + 3 z^816 - z^33 - 3 z^48 ]1^2 a 5129 + 48 - 83 - 6 = 5129 + 4329 - 249 - 549 = 512 + 432 - 24 - 549 = 8669 :
19 + 316 - 13 - 38 = 16144 + 27144 - 48144 - 54144 = 16 + 27 - 48 - 54144 = -59144
Calculando para 8669 - ( -59144 ) = 8669 + 59144 = 866 cdot 16 + 59144 = 13856 + 59144 = 13915144 :
Somando:
Calculando para :
Somando:
Agora, subtraindo os dois resultados:

Passo 8

Finalmente, podemos simplificar a fração:
13915144 approx 96.494

Resposta

A integral tripla vale aproximadamente 96,494.

Exercícios relacionados