Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral tripla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral múltiplo, especificamente uma integral tripla. Isso significa que vamos integrar a função
em relação a três variáveis:
,
e
, dentro de certos limites para cada uma delas. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração:
- Para
: de a - Para
: de a - Para
: de a
No entanto, precisamos verificar se esses limites fazem sentido. Observe que quando
(ou seja, para
entre
e
), o limite superior de
(
) é menor que o limite inferior (
). Isso não é possível, então essa parte da integral não contribui para o resultado final. Portanto, a integral só é válida quando
, ou seja, para
ou
.
Como
varia de
a
, e considerando que
é apenas um ponto, a integral efetivamente vale apenas para
de
a
. Vamos ajustar os limites da integral:
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
em relação a
. Como
não depende de
, a integral em relação a
fica mais simples:
Então, nossa integral agora é:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
, de
a
:
Integrando termo a termo:
- Para
:
- Para
:
Somando os dois resultados:
Passo 5
Agora, vamos combinar os termos e simplificar a expressão:
Para facilitar a integração, vamos juntar tudo:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
, de
a
:
Integrando termo a termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando todos os termos:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão de
a
:
Calculando para
:
Somando:
Calculando para
:
Somando:
Agora, subtraindo os dois resultados:
Passo 8
Finalmente, podemos simplificar a fração:
Resposta
A integral tripla vale aproximadamente 96,494.