Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. Sabendo-se que após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique. e 35 min

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma população de bactérias que cresce de forma proporcional à quantidade que já existe. Depois de uma hora, essa população dobra de tamanho. Precisamos encontrar uma função que descreva essa população ao longo do tempo e calcular quanto tempo leva para que a população triplique. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa crescer a uma taxa proporcional à população presente. Isso quer dizer que a variação da população ao longo do tempo é diretamente proporcional ao número de bactérias que temos. Matematicamente, isso é representado por uma equação diferencial:
Aqui, é a população no tempo e é a constante de proporcionalidade que precisamos descobrir.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis:
Agora, integraremos ambos os lados:
O que nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para :
Podemos simplificar como , que é a população inicial:

Passo 5

Sabemos que após uma hora ( ), a população é o dobro da inicial ( ). Vamos usar isso para encontrar :
Dividindo ambos os lados por :
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever a função da população:

Passo 7

Para encontrar o tempo necessário para que a população triplique, queremos :
Dividindo ambos os lados por :
Tirando o logaritmo na base 2 de ambos os lados:
Convertendo 0,585 horas em minutos:

Resposta

A população como função do tempo é e o tempo necessário para triplicar é aproximadamente 1 hora e 35 minutos.

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(f) ;
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