Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. Sabendo-se que após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique.
e 35 min
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma população de bactérias que cresce de forma proporcional à quantidade que já existe. Depois de uma hora, essa população dobra de tamanho. Precisamos encontrar uma função que descreva essa população ao longo do tempo e calcular quanto tempo leva para que a população triplique. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa crescer a uma taxa proporcional à população presente. Isso quer dizer que a variação da população ao longo do tempo é diretamente proporcional ao número de bactérias que temos. Matematicamente, isso é representado por uma equação diferencial:
Aqui,
é a população no tempo
e
é a constante de proporcionalidade que precisamos descobrir.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis:
Agora, integraremos ambos os lados:
O que nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
:
Podemos simplificar
como
, que é a população inicial:
Passo 5
Sabemos que após uma hora (
), a população é o dobro da inicial (
). Vamos usar isso para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a função da população:
Passo 7
Para encontrar o tempo necessário para que a população triplique, queremos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tirando o logaritmo na base 2 de ambos os lados:
Convertendo 0,585 horas em minutos:
Resposta
A população como função do tempo é
e o tempo necessário para triplicar é aproximadamente 1 hora e 35 minutos.
Exercícios relacionados
Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado que, após 4 semanas, 5 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo.
Suponha que seja aberta uma caderneta poupança com o objetivo de adquirir um bem no valor de
. Suponha que os juros sejam creditados continuamente a uma taxa de
ao mês e que os depósitos também sejam feitos continuamente a uma taxa constante, sendo no início o saldo igual a zero. Determine de quanto deve ser a taxa de depósito mensal para que em 20 meses se consiga atingir o valor pretendido.
Calcule as integrais:
(f) ;
(f)
Em cada item, faça o que se pede. ©
pontos
Determine uma expansão em série de potências para a função definida por
em torno de
.