Calcule as integrais:
(f) integral sec ^2(x) tan (x) d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição. Para resolvermos, vamos precisar entender como funcionam as funções trigonométricas e , além de aplicar a regra de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos considerar como para facilitar a integração. Observando a integral , percebemos que pode ser uma boa escolha para , já que sua derivada simples está presente na integral.

Passo 3

Vamos definir dudx = sec^2(x) . Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Portanto, .

Passo 4

Substituindo integral sec^2(x) tan(x) , dx = integral u , du e na integral original, temos:
Agora, a integral está em termos de , o que é mais simples de resolver.

Passo 5

Integrando integral u , du = u^22 + C , obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u^22 + C = tan^2(x)2 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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