Calcule as integrais:
(f)
;
(f)
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição. Para resolvermos, vamos precisar entender como funcionam as funções trigonométricas
e
, além de aplicar a regra de substituição em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos considerar como
para facilitar a integração. Observando a integral
, percebemos que
pode ser uma boa escolha para
, já que sua derivada simples está presente na integral.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, a integral está em termos de
, o que é mais simples de resolver.
Passo 5
Integrando
, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. Sabendo-se que após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique.
e 35 min
Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado que, após 4 semanas, 5 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo.
Em cada item, faça o que se pede. ©
pontos
Determine uma expansão em série de potências para a função definida por
em torno de
.
Assinale V ou F: (e) [ ] Um fator integrante para EDO
é
.