Para cada item, faça o que se pede:
  • Determine o gradiente de f
  • Calcule o gradiente no ponto P.
  • Determine a taxa de varieção de f em P na direção do vetor u
    (d) f(x, y, z) = raiz(x + y * z), P = (1, 3, 1), u = (2/7, 3/7, 6/7)

Passo 1

Então, temos a função , o ponto , e o vetor . Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com o gradiente e a derivada direcional. Precisamos determinar o gradiente de , calcular esse gradiente no ponto , e então encontrar a taxa de variação de na direção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ele nos mostra a direção em que a função aumenta mais rápido.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

E a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Então, juntando tudo, o gradiente de é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo , e :
Então,

Passo 8

Para encontrar a taxa de variação de na direção do vetor , usamos a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente em com o vetor :

Passo 9

Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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