Para cada item, faça o que se pede:
- Determine o gradiente de
- Calcule o gradiente no ponto P.
- Determine a taxa de varieção de
em P na direção do vetor
(d)
(d)
Passo 1
Então, temos a função
, o ponto
, e o vetor
. Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com o gradiente e a derivada direcional. Precisamos determinar o gradiente de
, calcular esse gradiente no ponto
, e então encontrar a taxa de variação de
na direção do vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ele nos mostra a direção em que a função aumenta mais rápido.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Então, juntando tudo, o gradiente de
é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
:
Então,
Passo 8
Para encontrar a taxa de variação de
na direção do vetor
, usamos a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente em
com o vetor
:
Passo 9
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.