Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace da função , que é uma função por partes. A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em engenharia e matemática para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções definidas por intervalos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por:
Isso significa que a gente vai integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito. Mas como nossa função é definida por partes, a gente vai dividir a integração conforme os intervalos de .
Passo 3
Vamos dividir a função nos intervalos dados:
De a :
De a :
De a :
A partir de :
Como para , a integral vai até . Então, nossa transformada de Laplace será a soma das integrais em cada intervalo.
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente:
De a :
Integrando:
De a :
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Primeira parte:
Aplicando limites:
Simplificando:
Segunda parte:
Somando as duas partes:
Simplificando:
De a :
Usamos a mesma técnica da primeira parte:
Aplicando limites:
Simplificando:
Resposta
Somando todas as partes, a transformada de Laplace de é: