(2 pontos) Considere a função f(t) = { 2, 0 <= t < 1; t + 1, 1 <= t < 3; t, 3 <= t < 4; 0, t >= 4 }
© Encontre a transformada de Laplace de f(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace da função , que é uma função por partes. A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em engenharia e matemática para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções definidas por intervalos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por:
Isso significa que a gente vai integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito. Mas como nossa função é definida por partes, a gente vai dividir a integração conforme os intervalos de .

Passo 3

Vamos dividir a função nos intervalos dados:
  1. De a :
  2. De a :
  3. De a :
  4. A partir de :
Como para , a integral vai até . Então, nossa transformada de Laplace será a soma das integrais em cada intervalo.

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. De a :
Integrando:
  1. De a :
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Primeira parte:
Aplicando limites:
Simplificando:
Segunda parte:
Somando as duas partes:
Simplificando:
  1. De a :
Usamos a mesma técnica da primeira parte:
Aplicando limites:
Simplificando:

Resposta

Somando todas as partes, a transformada de Laplace de é:
Simplificando ainda mais:
Então, a transformada de Laplace de é:

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