(2 pontos) Encontre a transformada de Laplace inversa da função F(s) = (s + 3) / (s^2 - 2s + 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Isso quer dizer que queremos descobrir qual é a função no tempo cuja transformada de Laplace é essa fração que você me deu. Para isso, vamos usar algumas técnicas básicas de transformadas de Laplace inversa e manipular a expressão para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Para facilitar, vamos completar o quadrado desse polinômio. Completar o quadrado nos ajuda a transformar a expressão em uma forma que é mais fácil de lidar com as tabelas de transformadas de Laplace.

Passo 3

Completando o quadrado para :
Agora, nossa função fica:

Passo 4

Agora, vamos separar o numerador de forma que possamos dividir em duas partes que correspondem a formas conhecidas das transformadas de Laplace inversa. Queremos escrever em termos de para combinar com o denominador:
Então, nossa função fica:

Passo 5

Agora, vamos lembrar das transformadas de Laplace inversa que conhecemos:
Comparando com o que temos, onde e , podemos aplicar essas fórmulas.

Passo 6

Aplicando as fórmulas:
Então, juntando as duas partes, temos a função no tempo.

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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