(2 pontos) Encontre a transformada de Laplace inversa da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Isso quer dizer que queremos descobrir qual é a função no tempo
cuja transformada de Laplace é essa fração que você me deu. Para isso, vamos usar algumas técnicas básicas de transformadas de Laplace inversa e manipular a expressão para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Para facilitar, vamos completar o quadrado desse polinômio. Completar o quadrado nos ajuda a transformar a expressão em uma forma que é mais fácil de lidar com as tabelas de transformadas de Laplace.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Agora, nossa função fica:
Passo 4
Agora, vamos separar o numerador
de forma que possamos dividir em duas partes que correspondem a formas conhecidas das transformadas de Laplace inversa. Queremos escrever
em termos de
para combinar com o denominador:
Então, nossa função fica:
Passo 5
Agora, vamos lembrar das transformadas de Laplace inversa que conhecemos:
Comparando com o que temos, onde
e
, podemos aplicar essas fórmulas.
Passo 6
Aplicando as fórmulas:
Então, juntando as duas partes, temos a função no tempo.
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: