1. (2 pontos) Encontre a Transformada de Laplace da função dada.
    (b) f(t) = t^2 - (t + 1) u2(t), t ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função para . Então, vamos usar os conceitos de Transformada de Laplace, incluindo propriedades como a transformada de funções escalonadas (Heaviside) e a transformada de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar. Temos:
Isso significa que vamos calcular a Transformada de Laplace de e depois a Transformada de Laplace de , e por fim subtrair os resultados.

Passo 3

Vamos começar com a Transformada de Laplace de . Sabemos que:
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de . Aqui, é a função de Heaviside que “liga” a função a partir de .
Usamos a propriedade da função escalonada:
No nosso caso, e , então precisamos encontrar e depois aplicar a propriedade.

Passo 5

Calculando :
A Transformada de Laplace é linear, então:
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora aplicamos a propriedade do escalonamento:

Passo 7

Juntando tudo, a Transformada de Laplace de é:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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