Em cada item, faça o que se pede: A função f: R^2 -> R definida por:
f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2) , se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 , se (x, y) = (0, 0) }
é deferenciável em (0,0) ?

Passo 1

Então, temos uma função definida da seguinte forma:
A questão é saber se essa função é diferenciável no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada linearmente naquele ponto, ou seja, se existir uma aproximação linear que “encaixe” bem na função perto de .
Para verificar a diferenciabilidade, geralmente precisamos verificar se as derivadas parciais existem e se a aproximação linear funciona corretamente.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma das variáveis mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Calculando:
Então,
Agora, a derivada parcial em relação a :
Calculando:
Então,

Passo 4

Ter as derivadas parciais é bom, mas isso não garante sozinha a diferenciabilidade. Precisamos verificar se a função se comporta bem conforme nos aproximamos do ponto de diferentes caminhos.
Para isso, analisamos o limite:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando o numerador:
Então, o limite fica:

Passo 5

Vamos analisar esse limite. Note que o numerador é e o denominador é . Queremos ver se esse limite tende a zero.
Podemos usar desigualdades para estimar o valor absoluto do limite:
Usando que e :
Se aproximarmos para ao longo de :
Isso sugere que o limite não tende a zero, mas permanece limitado.

Passo 6

Outro jeito de ver é escolhendo diferentes caminhos de aproximação. Se escolhermos , por exemplo:
Como o limite não é zero, isso indica que a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável em .

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