Calcule:
f)
f)
Passo 1
Vamos calcular a integral definida de
de
até
. Esse exercício envolve o estudo de integrais de funções trigonométricas com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta em diferentes intervalos do círculo trigonométrico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
é positiva e onde é negativa no intervalo de
a
. Sabemos que:
-
é positivo no primeiro e segundo quadrantes ( a ). -
é negativo no terceiro quadrante ( a ).
Isso é importante porque o valor absoluto
vai transformar os valores negativos em positivos.
Passo 3
Com isso, podemos dividir a integral em duas partes onde o sinal da função seno muda:
Aqui, de
a
,
já é positivo, então mantemos
. Já de
a
,
é negativo, então usamos
para garantir que o valor seja positivo.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 5
Segunda integral:
A integral de
é
, então:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Somando as duas partes, a integral vale
.
Exercícios relacionados
Em cada item, faça o que se pede: A função
definida por:
é deferenciável em
?
Em cada item, faça o que se pede: Prove que
, definida por
é uma função diferenciável.
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,