Calcule:
f) integral0^3 pi2|sen theta| d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de de até . Esse exercício envolve o estudo de integrais de funções trigonométricas com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta em diferentes intervalos do círculo trigonométrico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função é positiva e onde é negativa no intervalo de a . Sabemos que:
  • é positivo no primeiro e segundo quadrantes ( a ).
  • é negativo no terceiro quadrante ( a ).
Isso é importante porque o valor absoluto vai transformar os valores negativos em positivos.

Passo 3

Com isso, podemos dividir a integral em duas partes onde o sinal da função seno muda:
integral0^3pi2 |sin theta| , dtheta = integral0^pi sin theta , dtheta + integralpi^3pi2 (-sin theta) , dtheta
Aqui, de a , já é positivo, então mantemos . Já de a , é negativo, então usamos para garantir que o valor seja positivo.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^pi sin theta , dtheta
Sabemos que a integral de [-cos theta]0^pi = -cos pi + cos 0 é = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2 , então:

Passo 5

Segunda integral:
integralpi^3pi2 (-sin theta) , dtheta
A integral de [cos theta]pi^3pi2 = cos(3pi2) - cos pi é 0 - (-1) = 1 , então:
Sabemos que e , então:

Resposta

Somando as duas partes, a integral vale .

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