Em cada item, faça o que se pede: Prove que
, definida por
é uma função diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a função
, definida por
, é diferenciável. Isso está ligado ao estudo de diferenciabilidade em cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar entender e calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e mostrar que elas existem e são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável. Em termos simples, uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear perto desse ponto. Para verificar isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Aqui, tratamos
como constante e derivamos em relação a
:
Passo 5
Temos que as derivadas parciais
e
existem para todos os pontos
em
. Além disso, essas derivadas são funções polinomiais, que são contínuas em todo o domínio. A existência de derivadas parciais contínuas implica que a função
é diferenciável em todo
.
Resposta
Portanto, a função
é diferenciável em todo o espaço
.