Em cada item, faça o que se pede: Prove que , definida por é uma função diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a função , definida por , é diferenciável. Isso está ligado ao estudo de diferenciabilidade em cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar entender e calcular as derivadas parciais de em relação a e , e mostrar que elas existem e são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável. Em termos simples, uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear perto desse ponto. Para verificar isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a :

Passo 5

Temos que as derivadas parciais e existem para todos os pontos em . Além disso, essas derivadas são funções polinomiais, que são contínuas em todo o domínio. A existência de derivadas parciais contínuas implica que a função é diferenciável em todo .

Resposta

Portanto, a função é diferenciável em todo o espaço .

Exercícios relacionados

Faça o que se pede: Determine as derivadas parciais mistas de segunda ordem para a seguinte função:
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (b)
Em cada item, faça o que se pede: A função definida por:
é deferenciável em ?
Calcule:
f)