Em cada item, faça o que se pede: Prove que f: R^2 -> R, definida por f(x, y) = x^2 * y é uma função diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a função , definida por , é diferenciável. Isso está ligado ao estudo de diferenciabilidade em cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar entender e calcular as derivadas parciais de em relação a e , e mostrar que elas existem e são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável. Em termos simples, uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear perto desse ponto. Para verificar isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a :

Passo 5

Temos que as derivadas parciais e existem para todos os pontos em . Além disso, essas derivadas são funções polinomiais, que são contínuas em todo o domínio. A existência de derivadas parciais contínuas implica que a função é diferenciável em todo .

Resposta

Portanto, a função é diferenciável em todo o espaço .

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