Faça o que se pede: Determine as derivadas parciais mistas de segunda ordem para a seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais mistas de segunda ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde analisamos como a função muda em relação a cada uma das variáveis, neste caso,
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente essas expressões em relação à outra variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Isso significa que vamos derivar a função considerando
como uma constante.
Derivando termo a termo:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Derivando termo a termo:
Portanto,
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais mistas de segunda ordem. Ou seja, vamos derivar
em relação a
para encontrar
, e
em relação a
para encontrar
.
Primeiro, calculando
:
Derivando termo a termo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Derivando termo a termo:
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais mistas de segunda ordem são:
Exercícios relacionados
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (b)
Calcule os limites ou mostre que não existem:
Em cada item, faça o que se pede: Prove que
, definida por
é uma função diferenciável.
Em cada item, faça o que se pede: A função
definida por:
é deferenciável em
?