Faça o que se pede: Determine as derivadas parciais mistas de segunda ordem para a seguinte função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais mistas de segunda ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde analisamos como a função muda em relação a cada uma das variáveis, neste caso, e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente essas expressões em relação à outra variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Isso significa que vamos derivar a função considerando como uma constante.
Derivando termo a termo:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, tratamos como uma constante.
Derivando termo a termo:
Portanto,

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais mistas de segunda ordem. Ou seja, vamos derivar em relação a para encontrar , e em relação a para encontrar .
Primeiro, calculando :
Derivando termo a termo:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Derivando termo a termo:
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais mistas de segunda ordem são:

Exercícios relacionados

Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (b)
Calcule os limites ou mostre que não existem:
Em cada item, faça o que se pede: Prove que , definida por é uma função diferenciável.
Em cada item, faça o que se pede: A função definida por:
é deferenciável em ?