Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (b)

Passo 1

Então, a gente tem a função definida no intervalo . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde a função atinge máximos e mínimos relativos usando o teste da segunda derivada, ou a primeira derivada se necessário. Além disso, vamos identificar pontos de inflexão, concavidade, possíveis assíntotas e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada da função cosseno é:

Passo 3

Agora, para localizar os pontos críticos (onde podem ser máximos ou mínimos), igualamos a primeira derivada a zero:
Sabemos que o seno é zero em múltiplos de :
Dentro do nosso intervalo , os valores de que satisfazem a equação são , então:
Mas e estão fora do nosso intervalo, então o único ponto crítico relevante é .

Passo 4

Vamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo usando a segunda derivada. Calculamos a segunda derivada de :
Avaliando em :
Como , isso indica que temos um máximo relativo em .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda. Para isso, devemos resolver :
O cosseno é zero quando seu argumento é , então:
Dentro do intervalo , os valores possíveis são e .

Passo 6

Vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Olhando a segunda derivada:
  • Se , a concavidade é para cima.
  • Se , a concavidade é para baixo.
No intervalo :
  • Em , , ent��o concavidade para baixo.
  • Nos arredores de , a concavidade muda, indicando pontos de inflexão.

Passo 7

Vamos verificar as assíntotas. Para funções trigonométricas como o cosseno, que são definidas para todo o , não existem assíntotas verticais ou horizontais.

Passo 8

Finalmente, vamos esboçar o gráfico:
  • Máximo relativo em com .
  • Pontos de inflexão em com .
  • Concavidade para baixo no centro do intervalo e muda nas extremidades.

Resposta

A função tem um máximo relativo em com valor . Possui pontos de inflexão em onde . O gráfico é côncavo para baixo no intervalo e não possui assíntotas. O esboço do gráfico apresenta uma curva de cosseno invertida com pico no centro e pontos de inflexão nas extremidades do intervalo.

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