Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar, em cada item (a, b, c, d), se as retas e no espaço são concorrentes (secantes), coincidentes, paralelas ou reversas. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre elas e a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como representação paramétrica de retas, vetores diretores, ângulo entre vetores e fórmula da distância entre retas.
Passo 2
Item a)
As retas são:
s: x - 8-6 = y + 54 = z - 5-2
Primeiro, vamos colocar a reta s: x = 8 - 6u y = -5 + 4u z = 5 - 2u na forma paramétrica para facilitar a comparação:
Agora, identificamos os vetores diretores das retas:
Vetor diretor de :
Vetor diretor de :
Passo 3
Para verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou secantes, vamos comparar os vetores diretores. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas ou coincidentes.
Observamos que:
ds = -2 times dr
(-6, 4, -2) = -2 times (3, -2, 1)
Isso significa que as retas são paralelas. Para verificar se são coincidentes, precisamos ver se um ponto de uma reta pertence à outra.
Vamos testar o ponto (5, -3, 4) na reta 5 = 8 - 6u Rightarrow u = 36 = 0.5 :
-3 = -5 + 4u Rightarrow u = 24 = 0.5
E verificar se existe um 4 = 5 - 2u Rightarrow u = 12 = 0.5 tal que:
Como para , todas as equações são satisfeitas, as retas passam pelo mesmo ponto. Portanto, as retas são coincidentes.
Passo 4
Resposta final do item a:
As retas e são coincidentes. O ângulo entre elas é e a distância entre elas é unidades.
Passo 5
Item b)
As retas são:
r: x = 5 + 3t y = -3 - 2t z = 4 + t
s: x - 23 = y + 1-2 = z
Vamos colocar a reta s: x = 2 + 3u y = -1 - 2u z = u na forma paramétrica:
Vetores diretores:
Passo 6
Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas ou coincidentes. Vamos verificar se são coincidentes.
Tomamos o ponto (5, -3, 4) na reta 5 = 2 + 3u Rightarrow u = 1 :
-3 = -1 - 2u Rightarrow u = 1
Verificamos se esse ponto pertence à reta 4 = u Rightarrow u = 4 :
Como não é o mesmo nas três equações, o ponto não pertence à reta . Portanto, as retas são paralelas.
Passo 7
Para calcular a distância entre retas paralelas, podemos usar a fórmula:
Distância = |d cdot (Ps - Pr)||d| â
Onde Ps - Pr = (-3, 2, -4) é o vetor diretor comum, e d cdot (Ps - Pr) = 3 times (-3) + (-2) times 2 + 1 times (-4) = -9 -4 -4 = -17 é o vetor entre pontos das retas.
Resposta final do item d:
As retas e são reversas. O ângulo entre elas é aproximadamente e a distância entre elas é cerca de unidades.
Resposta
As resoluções para os itens a), b), c) e d) foram apresentadas nos passos acima, detalhando se as retas são coincidentes, paralelas ou reversas, além de calcular o ângulo e a distância entre elas conforme solicitado.