Em cada item, informe se as retas e do espaço são concorrentes (ou secantes), coincidentes, paralelas ou reversas. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles.
(a) e
(b) e :
© e
(d) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar, em cada item (a, b, c, d), se as retas e no espaço são concorrentes (secantes), coincidentes, paralelas ou reversas. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre elas e a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como representação paramétrica de retas, vetores diretores, ângulo entre vetores e fórmula da distância entre retas.

Passo 2

Item a)
As retas são:
Primeiro, vamos colocar a reta na forma paramétrica para facilitar a comparação:
Agora, identificamos os vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor de :
  • Vetor diretor de :

Passo 3

Para verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou secantes, vamos comparar os vetores diretores. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas ou coincidentes.
Observamos que:
Isso significa que as retas são paralelas. Para verificar se são coincidentes, precisamos ver se um ponto de uma reta pertence à outra.
Vamos testar o ponto na reta :
E verificar se existe um tal que:
Como para , todas as equações são satisfeitas, as retas passam pelo mesmo ponto. Portanto, as retas são coincidentes.

Passo 4

Resposta final do item a:
As retas e são coincidentes. O ângulo entre elas é e a distância entre elas é unidades.

Passo 5

Item b)
As retas são:
Vamos colocar a reta na forma paramétrica:
Vetores diretores:

Passo 6

Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas ou coincidentes. Vamos verificar se são coincidentes.
Tomamos o ponto na reta :
Verificamos se esse ponto pertence à reta :
Como não é o mesmo nas três equações, o ponto não pertence à reta . Portanto, as retas são paralelas.

Passo 7

Para calcular a distância entre retas paralelas, podemos usar a fórmula:
â
Onde é o vetor diretor comum, e é o vetor entre pontos das retas.
Escolhemos e .
â
O ângulo entre retas paralelas é .

Passo 8

Resposta final do item b:
As retas e são paralelas. O ângulo entre elas é e a distância entre elas é aproximadamente unidades.

Passo 9

Item c)
As retas são:
Vetores diretores:

Passo 10

Para determinar a relação entre as retas, verificamos se são paralelas ou não. Calculamos se os vetores diretores são múltiplos.
Não existe que satisfaça . Portanto, não são paralelas.
Agora, verificamos se são secantes (interseccionam). Resolvemos o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo em outras:
(contradição)
Logo, as retas não se intersectam e não são paralelas, ou seja, são reversas.

Passo 11

Para calcular o ângulo entre as retas, usamos a fórmula do produto escalar:
Para a distância entre retas reversas, usamos:
â
Calculamos:
â

Passo 12

Resposta final do item c:
As retas e são reversas. O ângulo entre elas é aproximadamente e a distância entre elas é cerca de unidades.

Passo 13

Item d)
As retas são:
Vetores diretores:

Passo 14

Verificamos se as retas são paralelas ou não:
Tentando:
Como não é consistente, as retas não são paralelas.
Agora, verificamos se são secantes resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Agora, substituímos em :
Verificamos na terceira equação:
Contradição, então as retas não se intersectam e são reversas.

Passo 15

Para calcular o ângulo entre as retas:
Para a distância entre retas reversas:
â
Calculamos:
â

Passo 16

Resposta final do item d:
As retas e são reversas. O ângulo entre elas é aproximadamente e a distância entre elas é cerca de unidades.

Resposta

As resoluções para os itens a), b), c) e d) foram apresentadas nos passos acima, detalhando se as retas são coincidentes, paralelas ou reversas, além de calcular o ângulo e a distância entre elas conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes e , determine:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e)* , onde .
Encontre um vetor diretor para as retas do espaço definidas pelas seguintes equações reduzidas:
(a)
(b)
Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua inversa, se esta existir;
Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação