Em cada item, informe se as retas r e s do espaço são concorrentes (ou secantes), coincidentes, paralelas ou reversas. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles.
(a) r: x=5+3 t, y=-3-2 t, z=4+t e s: x-8-6=y+54=z-5-2
(b) r: x=5+3 t, y=-3-2 t, z=4+t e s : x-23=y+1-2=z
© r: x=2+3 t, y=3 t, z=4 e s:=x=-1+2 h, y=2+5 h, z=4+h
(d) r: x=-9 t, y=1+6 t, z=-1-3 t e s:=x=1-4 h, y=-8 h, z=2+4 h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar, em cada item (a, b, c, d), se as retas e no espaço são concorrentes (secantes), coincidentes, paralelas ou reversas. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre elas e a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como representação paramétrica de retas, vetores diretores, ângulo entre vetores e fórmula da distância entre retas.

Passo 2

Item a)
As retas são:
r: x = 5 + 3t y = -3 - 2t z = 4 + t
s: x - 8-6 = y + 54 = z - 5-2
Primeiro, vamos colocar a reta s: x = 8 - 6u y = -5 + 4u z = 5 - 2u na forma paramétrica para facilitar a comparação:
Agora, identificamos os vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor de :
  • Vetor diretor de :

Passo 3

Para verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou secantes, vamos comparar os vetores diretores. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas ou coincidentes.
Observamos que:
ds = -2 times dr
(-6, 4, -2) = -2 times (3, -2, 1)
Isso significa que as retas são paralelas. Para verificar se são coincidentes, precisamos ver se um ponto de uma reta pertence à outra.
Vamos testar o ponto (5, -3, 4) na reta 5 = 8 - 6u Rightarrow u = 36 = 0.5 :
-3 = -5 + 4u Rightarrow u = 24 = 0.5
E verificar se existe um 4 = 5 - 2u Rightarrow u = 12 = 0.5 tal que:
Como para , todas as equações são satisfeitas, as retas passam pelo mesmo ponto. Portanto, as retas são coincidentes.

Passo 4

Resposta final do item a:
As retas e são coincidentes. O ângulo entre elas é e a distância entre elas é unidades.

Passo 5

Item b)
As retas são:
r: x = 5 + 3t y = -3 - 2t z = 4 + t
s: x - 23 = y + 1-2 = z
Vamos colocar a reta s: x = 2 + 3u y = -1 - 2u z = u na forma paramétrica:
Vetores diretores:

Passo 6

Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas ou coincidentes. Vamos verificar se são coincidentes.
Tomamos o ponto (5, -3, 4) na reta 5 = 2 + 3u Rightarrow u = 1 :
-3 = -1 - 2u Rightarrow u = 1
Verificamos se esse ponto pertence à reta 4 = u Rightarrow u = 4 :
Como não é o mesmo nas três equações, o ponto não pertence à reta . Portanto, as retas são paralelas.

Passo 7

Para calcular a distância entre retas paralelas, podemos usar a fórmula:
Distância = |d cdot (Ps - Pr)||d| â
Onde Ps - Pr = (-3, 2, -4) é o vetor diretor comum, e d cdot (Ps - Pr) = 3 times (-3) + (-2) times 2 + 1 times (-4) = -9 -4 -4 = -17 é o vetor entre pontos das retas.
Escolhemos |d| = raiz3^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz9 +4 +1 = raiz14 e Distância = |-17|raiz14 = 17raiz14 approx 4.54 .
â
O ângulo entre retas paralelas é .

Passo 8

Resposta final do item b:
As retas e são paralelas. O ângulo entre elas é e a distância entre elas é aproximadamente unidades.

Passo 9

Item c)
As retas são:
r: x = 2 + 3t y = 3t z = 4
s: x = -1 + 2h y = 2 + 5h z = 4 + h
Vetores diretores:

Passo 10

Para determinar a relação entre as retas, verificamos se são paralelas ou não. Calculamos se os vetores diretores são múltiplos.
ds neq k times dr
Não existe 2 + 3t = -1 + 2h 3t = 2 + 5h 4 = 4 + h que satisfaça 2 + 3t = -1 Rightarrow t = -1 . Portanto, não são paralelas.
Agora, verificamos se são secantes (interseccionam). Resolvemos o sistema:
3(-1) = 2 + 5(0) Rightarrow -3 = 2
Da terceira equação, . Substituindo em outras:
(contradição)
Logo, as retas não se intersectam e não são paralelas, ou seja, são reversas.

Passo 11

Para calcular o ângulo entre as retas, usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = dr cdot ds|dr| |ds|
dr cdot ds = 3 times 2 + 3 times 5 + 0 times 1 = 6 +15 +0 =21
|dr| = raiz3^2 +3^2 +0^2 = raiz9 +9 = raiz18 = 3raiz2
|ds| = raiz2^2 +5^2 +1^2 = raiz4 +25 +1 = raiz30
cos(theta) = 213raiz2 times raiz30 = 213 times raiz60 = 7raiz60
theta approx cos^-1(77.746) approx cos^-1(0.9035) approx 25^circ
Para a distância entre retas reversas, usamos:
Distância = |(Ps - Pr) cdot (dr times ds)||dr times ds| â
Calculamos:
Pr = (2, 0, 4)
Ps = (-1, 2, 4)
Ps - Pr = (-3, 2, 0)
dr times ds = i & j & k 3 & 3 & 0 2 &5 &1 = i(3 times1 -0 times5) - j(3 times1 -0 times2) + k(3 times5 -3 times2) = (3, -3, 9)
(Ps - Pr) cdot (dr times ds) = (-3)(3) + 2(-3) + 0(9) = -9 -6 +0 = -15
|dr times ds| = raiz3^2 + (-3)^2 +9^2 = raiz9 +9 +81 = raiz99
Distância = |-15|raiz99 = 15raiz99 approx 1.51 â

Passo 12

Resposta final do item c:
As retas e são reversas. O ângulo entre elas é aproximadamente e a distância entre elas é cerca de unidades.

Passo 13

Item d)
As retas são:
r: x = -9t y = 1 + 6t z = -1 - 3t
s: x = 1 - 4h y = -8h z = 2 + 4h
Vetores diretores:

Passo 14

Verificamos se as retas são paralelas ou não:
ds = k times dr
Tentando:
-4 = k times (-9) Rightarrow k = 49
-8 = k times 6 Rightarrow k = -86 = -43
Como -9t = 1 - 4h 1 + 6t = -8h -1 - 3t = 2 + 4h não é consistente, as retas não são paralelas.
Agora, verificamos se são secantes resolvendo o sistema:
1 + 6t = -8h Rightarrow h = -1 + 6t8
Da segunda equação:
-9t = 1 - 4(-1 + 6t8)
Substituindo na primeira:
-9t = 1 + 4 + 24t8
-9t = 1 + 48 + 24t8
-9t = 1 + 0.5 + 3t
-12t = 1.5 Rightarrow t = -1.512 = -18
h = -1 + 6(-18)8 = -1 - 688 = -22 - 348 = -548 = -532
Agora, substituímos -1 - 3(-18) = 2 + 4(-532) em -1 + 38 = 2 - 2032 :
-58 = 2 - 58
Verificamos na terceira equação:
-58 neq 118
Contradição, então as retas não se intersectam e são reversas.

Passo 15

Para calcular o ângulo entre as retas:
cos(theta) = dr cdot ds|dr| |ds|
dr cdot ds = (-9)(-4) + 6(-8) + (-3)(4) = 36 -48 -12 = -24
|dr| = raiz(-9)^2 +6^2 +(-3)^2 = raiz81 +36 +9 = raiz126 = 3raiz14
|ds| = raiz(-4)^2 + (-8)^2 +4^2 = raiz16 +64 +16 = raiz96 = 4raiz6
cos(theta) = -243raiz14 times 4raiz6 = -2412raiz84 = -2raiz84 = -22raiz21 = -1raiz21
theta approx cos^-1(-14.5837) approx cos^-1(-0.2182) approx 102.5^circ
Para a distância entre retas reversas:
Distância = |(Ps - Pr) cdot (dr times ds)||dr times ds| â
Calculamos:
Pr = (0, 1, -1)
Ps = (1, 0, 2)
Ps - Pr = (1, -1, 3)
dr times ds = i & j & k -9 & 6 & -3 -4 & -8 & 4 = i(6 times4 - (-3)(-8)) - j((-9)times4 - (-3)(-4)) + k((-9)(-8) -6(-4)) = i(24 -24) - j(-36 -12) + k(72 +24) = (0, 48, 96)
(Ps - Pr) cdot (dr times ds) = 1 times 0 + (-1) times48 + 3 times96 = 0 -48 +288 = 240
|dr times ds| = raiz0^2 +48^2 +96^2 = raiz0 +2304 +9216 = raiz11520 = 96raiz1.25 = 96 times 1.1180 approx 107.3
Distância = 240107.3 approx 2.24 â

Passo 16

Resposta final do item d:
As retas e são reversas. O ângulo entre elas é aproximadamente e a distância entre elas é cerca de unidades.

Resposta

As resoluções para os itens a), b), c) e d) foram apresentadas nos passos acima, detalhando se as retas são coincidentes, paralelas ou reversas, além de calcular o ângulo e a distância entre elas conforme solicitado.

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