Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar, em cada item (a, b, c, d), se as retas e no espaço são concorrentes (secantes), coincidentes, paralelas ou reversas. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre elas e a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como representação paramétrica de retas, vetores diretores, ângulo entre vetores e fórmula da distância entre retas.
Passo 2
Item a)
As retas são:
Primeiro, vamos colocar a reta na forma paramétrica para facilitar a comparação:
Agora, identificamos os vetores diretores das retas:
Vetor diretor de :
Vetor diretor de :
Passo 3
Para verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou secantes, vamos comparar os vetores diretores. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas ou coincidentes.
Observamos que:
Isso significa que as retas são paralelas. Para verificar se são coincidentes, precisamos ver se um ponto de uma reta pertence à outra.
Vamos testar o ponto na reta :
E verificar se existe um tal que:
Como para , todas as equações são satisfeitas, as retas passam pelo mesmo ponto. Portanto, as retas são coincidentes.
Passo 4
Resposta final do item a:
As retas e são coincidentes. O ângulo entre elas é e a distância entre elas é unidades.
Passo 5
Item b)
As retas são:
Vamos colocar a reta na forma paramétrica:
Vetores diretores:
Passo 6
Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas ou coincidentes. Vamos verificar se são coincidentes.
Tomamos o ponto na reta :
Verificamos se esse ponto pertence à reta :
Como não é o mesmo nas três equações, o ponto não pertence à reta . Portanto, as retas são paralelas.
Passo 7
Para calcular a distância entre retas paralelas, podemos usar a fórmula:
â
Onde é o vetor diretor comum, e é o vetor entre pontos das retas.
Escolhemos e .
â
O ângulo entre retas paralelas é .
Passo 8
Resposta final do item b:
As retas e são paralelas. O ângulo entre elas é e a distância entre elas é aproximadamente unidades.
Passo 9
Item c)
As retas são:
Vetores diretores:
Passo 10
Para determinar a relação entre as retas, verificamos se são paralelas ou não. Calculamos se os vetores diretores são múltiplos.
Não existe que satisfaça . Portanto, não são paralelas.
Agora, verificamos se são secantes (interseccionam). Resolvemos o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo em outras:
(contradição)
Logo, as retas não se intersectam e não são paralelas, ou seja, são reversas.
Passo 11
Para calcular o ângulo entre as retas, usamos a fórmula do produto escalar:
Para a distância entre retas reversas, usamos:
â
Calculamos:
â
Passo 12
Resposta final do item c:
As retas e são reversas. O ângulo entre elas é aproximadamente e a distância entre elas é cerca de unidades.
Passo 13
Item d)
As retas são:
Vetores diretores:
Passo 14
Verificamos se as retas são paralelas ou não:
Tentando:
Como não é consistente, as retas não são paralelas.
Agora, verificamos se são secantes resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Agora, substituímos em :
Verificamos na terceira equação:
Contradição, então as retas não se intersectam e são reversas.
Passo 15
Para calcular o ângulo entre as retas:
Para a distância entre retas reversas:
â
Calculamos:
â
Passo 16
Resposta final do item d:
As retas e são reversas. O ângulo entre elas é aproximadamente e a distância entre elas é cerca de unidades.
Resposta
As resoluções para os itens a), b), c) e d) foram apresentadas nos passos acima, detalhando se as retas são coincidentes, paralelas ou reversas, além de calcular o ângulo e a distância entre elas conforme solicitado.