Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua inversa, se esta existir;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz e descobrir se ela tem inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada nos dá informações importantes, como se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. Como temos uma matriz , calcular o determinante manualmente pode ser complexo, mas vamos ver se conseguimos simplificar.

Passo 3

Observando a matriz , percebemos que ela tem muitos zeros, o que facilita o cálculo do determinante. Além disso, parece que a matriz possui uma estrutura especial que pode ser relacionada a permutações de colunas ou linhas. Vamos tentar reorganizar a matriz para facilitar o cálculo.

Passo 4

Vamos reescrever a matriz para identificar possíveis padrões:
Percebemos que cada linha tem apenas um elemento não nulo, o que indica que a matriz é uma permutação de uma matriz diagonal.

Passo 5

Para matrizes de permutação, o determinante é igual ao sinal da permutação. Vamos contar quantas trocas de linhas são necessárias para transformar em uma matriz identidade. Cada troca de linhas inverte o sinal do determinante.

Passo 6

Contando as permutações:
  1. A primeira linha tem 1 na quarta posição: precisa trocar a primeira linha com a quarta.
  2. A segunda linha tem 1 na sexta posição: troca com a sexta linha.
  3. A terceira linha tem -1 na primeira posição: já está na posição correta com um sinal negativo.
  4. A quarta linha tem 1 na quinta posição: troca com a quinta linha.
  5. A quinta linha tem -1 na segunda posição: já está correta com sinal negativo.
  6. A sexta linha tem -1 na terceira posição: já está correta com sinal negativo.
Foram feitas três trocas, então o determinante será vezes o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 7

O produto dos elementos da diagonal principal agora é:
Então, o determinante é:

Passo 8

Como o determinante de é (diferente de zero), isso significa que a matriz é invertível.

Passo 9

Para encontrar a inversa de , podemos observar que, sendo uma matriz de permutação com determinante , sua inversa é simplesmente sua transposta. Então:
Calculando a transposta de :

Resposta

O determinante da matriz é , e a sua inversa existe sendo igual à sua transposta:

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Em cada item, informe se as retas e do espaço são concorrentes (ou secantes), coincidentes, paralelas ou reversas. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles.
(a) e
(b) e :
© e
(d) e
Dadas as matrizes e , determine:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e)* , onde .
Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação
Use as interseções com os eixos coordenados e esboce os seguintes planos:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)