Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua inversa, se esta existir;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz e descobrir se ela tem inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada nos dá informações importantes, como se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. Como temos uma matriz , calcular o determinante manualmente pode ser complexo, mas vamos ver se conseguimos simplificar.
Passo 3
Observando a matriz , percebemos que ela tem muitos zeros, o que facilita o cálculo do determinante. Além disso, parece que a matriz possui uma estrutura especial que pode ser relacionada a permutações de colunas ou linhas. Vamos tentar reorganizar a matriz para facilitar o cálculo.
Passo 4
Vamos reescrever a matriz para identificar possíveis padrões:
Percebemos que cada linha tem apenas um elemento não nulo, o que indica que a matriz é uma permutação de uma matriz diagonal.
Passo 5
Para matrizes de permutação, o determinante é igual ao sinal da permutação. Vamos contar quantas trocas de linhas são necessárias para transformar em uma matriz identidade. Cada troca de linhas inverte o sinal do determinante.
Passo 6
Contando as permutações:
A primeira linha tem 1 na quarta posição: precisa trocar a primeira linha com a quarta.
A segunda linha tem 1 na sexta posição: troca com a sexta linha.
A terceira linha tem -1 na primeira posição: já está na posição correta com um sinal negativo.
A quarta linha tem 1 na quinta posição: troca com a quinta linha.
A quinta linha tem -1 na segunda posição: já está correta com sinal negativo.
A sexta linha tem -1 na terceira posição: já está correta com sinal negativo.
Foram feitas três trocas, então o determinante será vezes o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 7
O produto dos elementos da diagonal principal agora é:
Então, o determinante é:
Passo 8
Como o determinante de é (diferente de zero), isso significa que a matriz é invertível.
Passo 9
Para encontrar a inversa de , podemos observar que, sendo uma matriz de permutação com determinante , sua inversa é simplesmente sua transposta. Então:
Calculando a transposta de :
Resposta
O determinante da matriz é , e a sua inversa existe sendo igual à sua transposta: