Dadas as matrizes A=[cccc1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3] e B=[cccc-3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2], determine:
(a) det(A B);
(b) A^-1;
© B^-1;
(d) (B A)^-1;
(e)* det(C), onde C A^T=2 B C^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar determinando o determinante do produto das matrizes det(A B) = det(A) times det(B) e . A matéria aqui é sobre determinantes e propriedades de matrizes. Para isso, precisamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja:
Então, primeiro vamos calcular e .

Passo 2

Agora, vamos achar a inversa da matriz , ou seja, . Para uma matriz triangular (como a ), o cálculo da inversa é mais simples porque os elementos abaixo ou acima da diagonal são zero. A teoria aqui envolve a inversa de matrizes triangulares, onde os elementos da diagonal da inversa são os inversos dos elementos da diagonal da original, e os demais elementos são calculados de forma que o produto dê a matriz identidade.

Passo 3

Vamos agora encontrar a inversa da matriz , ou seja, . Para isso, usaremos o método de adjunta e determinante. Primeiro, precisamos calcular o determinante de e verificar se ele não é zero. Depois, encontraremos a matriz adjunta de e dividiremos pelo determinante para obter .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inversa de , ou seja, . Sabemos que . Já calculamos e nas partes anteriores, então basta multiplicá-las nessa ordem para obter a inversa de .

Passo 5

Por fim, queremos determinar det(C A^T) = det(2 B C^2) , dada a equação . Vamos usar propriedades de determinantes e matrizes para isolar . Primeiro, vamos tirar o determinante dos dois lados da equação:
Sabemos que .
E , onde é a ordem da matriz.
Igualando as duas expressões e resolvendo para .

Resposta

det(C) = 2 times det(B)det(A) = 2 times (-24)1 = -48

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