Encontre um vetor diretor para as retas do espaço definidas pelas seguintes equações reduzidas:
(a) y=3-5 x, z=2+x
(b) x=23+2 y, z=-1+12 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor diretor para cada uma das retas definidas pelas equações reduzidas. Isso faz parte da geometria analítica no espaço. Para isso, precisamos entender como identificar o vetor diretor a partir das equações dadas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct e . As equações reduzidas de uma reta no espaço geralmente têm a forma paramétrica:
onde é o vetor diretor da reta. Vamos reescrever as equações dadas nessa forma.

Passo 3

Da equação y = 3 - 5x Rightarrow 5x = 3 - y Rightarrow x = 3 - y5 , podemos isolar y = 3 - 5t :
z = 2 + t
Mas é mais fácil parametrizar x = t, y = 3 - 5t, z = 2 + t por um parâmetro . Vamos assumir . Então:
E da equação , substituindo :
Então, as equações paramétricas ficam:

Passo 4

Agora, comparando com a forma paramétrica padrão, percebemos que o vetor diretor (a, b, c) = (1, -5, 1) é formado pelos coeficientes de 1 -5 1 :
Então, o vetor diretor para a reta da parte (a) é .

Passo 5

Agora vamos para a parte (b): e . Novamente, vamos colocar essas equações na forma paramétrica para identificar o vetor diretor.

Passo 6

Primeiro, isolamos y = t . Vamos deixar x = 23 + 2t . Então:
z = -1 + 12t
Substituindo x = 23 + 2t, y = t, z = -1 + 12t nas outras equações:
Então, as equações paramétricas ficam:

Passo 7

Comparando com a forma paramétrica padrão, o vetor diretor (a, b, c) = (2, 1, 12) é formado pelos coeficientes de 2 1 12 :
Portanto, o vetor diretor para a reta da parte (b) é .

Resposta

(a) O vetor diretor é 1 -5 1 .
(b) O vetor diretor é 2 1 12 .

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