Encontre um vetor diretor para as retas do espaço definidas pelas seguintes equações reduzidas:
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor diretor para cada uma das retas definidas pelas equações reduzidas. Isso faz parte da geometria analítica no espaço. Para isso, precisamos entender como identificar o vetor diretor a partir das equações dadas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): e . As equações reduzidas de uma reta no espaço geralmente têm a forma paramétrica:
onde é o vetor diretor da reta. Vamos reescrever as equações dadas nessa forma.

Passo 3

Da equação , podemos isolar :
Mas é mais fácil parametrizar por um parâmetro . Vamos assumir . Então:
E da equação , substituindo :
Então, as equações paramétricas ficam:

Passo 4

Agora, comparando com a forma paramétrica padrão, percebemos que o vetor diretor é formado pelos coeficientes de :
Então, o vetor diretor para a reta da parte (a) é .

Passo 5

Agora vamos para a parte (b): e . Novamente, vamos colocar essas equações na forma paramétrica para identificar o vetor diretor.

Passo 6

Primeiro, isolamos . Vamos deixar . Então:
Substituindo nas outras equações:
Então, as equações paramétricas ficam:

Passo 7

Comparando com a forma paramétrica padrão, o vetor diretor é formado pelos coeficientes de :
Portanto, o vetor diretor para a reta da parte (b) é .

Resposta

(a) O vetor diretor é .
(b) O vetor diretor é .

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É possível ter e não ser inversa de ? Justifique sua resposta.
Determine em cada um dos casos abaixo, e , números reais tais que a matriz seja simétrica.
(b) .
Dadas as matrizes e , determine:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e)* , onde .
Em cada item, informe se as retas e do espaço são concorrentes (ou secantes), coincidentes, paralelas ou reversas. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles.
(a) e
(b) e :
© e
(d) e