Encontre um vetor diretor para as retas do espaço definidas pelas seguintes equações reduzidas:
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor diretor para cada uma das retas definidas pelas equações reduzidas. Isso faz parte da geometria analítica no espaço. Para isso, precisamos entender como identificar o vetor diretor a partir das equações dadas.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): e . As equações reduzidas de uma reta no espaço geralmente têm a forma paramétrica:
onde é o vetor diretor da reta. Vamos reescrever as equações dadas nessa forma.
Passo 3
Da equação , podemos isolar :
Mas é mais fácil parametrizar por um parâmetro . Vamos assumir . Então:
E da equação , substituindo :
Então, as equações paramétricas ficam:
Passo 4
Agora, comparando com a forma paramétrica padrão, percebemos que o vetor diretor é formado pelos coeficientes de :
Então, o vetor diretor para a reta da parte (a) é .
Passo 5
Agora vamos para a parte (b): e . Novamente, vamos colocar essas equações na forma paramétrica para identificar o vetor diretor.
Passo 6
Primeiro, isolamos . Vamos deixar . Então:
Substituindo nas outras equações:
Então, as equações paramétricas ficam:
Passo 7
Comparando com a forma paramétrica padrão, o vetor diretor é formado pelos coeficientes de :
Portanto, o vetor diretor para a reta da parte (b) é .