Em cada item, integre a função
na região
descrita:
, em que
é a região abaixo da parábola
, acima da reta
e acima da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral da função
sobre a região
que está abaixo da parábola
, acima da reta
e também acima da reta
. Para isso, vamos usar integrais duplas, que nos permitem calcular o volume sob a superfície da função
na região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Precisamos encontrar onde essas curvas se intersectam para definir os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção da parábola
com a reta
. Igualando as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo a equação quadrática:
Correspondente a
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de
e
. Observando a região
:
-
varia de até (abaixo da parábola). - Para cada
, varia de ?
Na verdade, precisamos dividir a região em duas partes, porque a reta
interfere na região.
Passo 5
Vamos dividir a integração em duas partes com base nos limites de
:
- De
até , varia de até (a partir de ). - De
até , varia de até (até a parábola).
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla dividida em duas integrais:
Passo 7
Vamos resolver a primeira integral:
Expandindo
:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Agora, resolvemos a segunda integral:
Simplificando:
Multiplicando
:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Resposta
Somando as duas integrais:
Então, a integral da função
sobre a região
é
.
Exercícios relacionados
Derive a função.
Mais uma vez, calcule a integral:
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.