Em cada item, integre a função na região descrita:
, em que é a região abaixo da parábola , acima da reta e acima da reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral da função sobre a região que está abaixo da parábola , acima da reta e também acima da reta . Para isso, vamos usar integrais duplas, que nos permitem calcular o volume sob a superfície da função na região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Precisamos encontrar onde essas curvas se intersectam para definir os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção da parábola com a reta . Igualando as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo a equação quadrática:
Correspondente a :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de e . Observando a região :
  • varia de até (abaixo da parábola).
  • Para cada , varia de ?
Na verdade, precisamos dividir a região em duas partes, porque a reta interfere na região.

Passo 5

Vamos dividir a integração em duas partes com base nos limites de :
  1. De até , varia de até (a partir de ).
  2. De até , varia de até (até a parábola).

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla dividida em duas integrais:

Passo 7

Vamos resolver a primeira integral:
Expandindo :
Integrando termo a termo:

Passo 8

Agora, resolvemos a segunda integral:
Simplificando:
Multiplicando :
Integrando termo a termo:
Calculando em :
Calculando em :
Subtraindo:
Multiplicando por :

Resposta

Somando as duas integrais:
Então, a integral da função sobre a região é .

Exercícios relacionados

Derive a função.
Mais uma vez, calcule a integral:
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.