Derive a função. f(x) = ln(raiz((a^2 - x^2) / (a^2 + x^2)))

Passo 1

Então, a gente tem a função . O que precisamos fazer aqui é derivar essa função, ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar regras de derivação logarítmica e de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que pode ser escrito como . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade do logaritmo que diz . Assim, podemos tirar o expoente 1/2 para fora do logaritmo:

Passo 4

Para derivar , vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o logaritmo:

Passo 5

Agora, vamos derivar a fração . Usamos a regra do quociente:

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então,

Passo 7

Voltando à derivada de :

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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