Mais uma vez, calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a , usando as regras de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Isso significa que varia de 0 a 2 e varia de 0 a . Então, nossa integral dupla pode ser escrita como um produto de duas integrais simples:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Neste caso, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A integral interna é:
Sabemos que a integral de em relação a é . Então, temos:
Como e , isso simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa é uma integral simples de em relação a . A antiderivada de é :

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas a seguir:
d. .
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
b. .
Derive a função.
Em cada item, integre a função na região descrita:
, em que é a região abaixo da parábola , acima da reta e acima da reta .