Mais uma vez, calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, usando as regras de integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Isso significa que
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
. Então, nossa integral dupla pode ser escrita como um produto de duas integrais simples:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Neste caso,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. A integral interna é:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então, temos:
Como
e
, isso simplifica para:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa é uma integral simples de
em relação a
. A antiderivada de
é
:
Resposta
O valor da integral dupla é 2.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas a seguir:
d. .
d.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
b. .
b.
Derive a função.
Em cada item, integre a função
na região
descrita:
, em que
é a região abaixo da parábola
, acima da reta
e acima da reta
.