Mais uma vez, calcule a integral:
integral duplaR x sec ^2 y d A, R=[0,2] times[0, pi / 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral duplaR x sec^2 y , dA, R = [0, 2] times [0, pi4]
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a , usando as regras de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração integral0^2 ( integral0^pi4 x sec^2 y , dy ) dx . Isso significa que varia de 0 a 2 e varia de 0 a . Então, nossa integral dupla pode ser escrita como um produto de duas integrais simples:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^pi4 x sec^2 y , dy . Neste caso, x integral0^pi4 sec^2 y , dy = x [ tan y ]0^pi4 = x (tan pi4 - tan 0) é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a x (1 - 0) = x . A integral interna é:
Sabemos que a integral de em relação a é . Então, temos:
Como e , isso simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 x , dx
Essa é uma integral simples de [ 12 x^2 ]0^2 = 12 (2)^2 - 12 (0)^2 = 12 times 4 - 0 = 2 em relação a . A antiderivada de é :

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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