Encontre os pontos críticos da função. f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções polinomiais e resolver equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função, e para encontrar os pontos críticos, queremos saber onde essa inclinação é zero.
A função dada é:
Para derivar, usamos a regra de potência, que diz que a derivada de é .
Aplicando isso:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolveremos a equação:
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:

Passo 4

Para resolver a equação quadrática , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante ( ):

Passo 5

Agora, aplicamos Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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