Em cada item, monte, quando preciso, e calcule as integrais de acordo com o enunciado.
Calcule o volume
do sólido no primeiro octante (
) limitado pelos cilindros
e
. Monte as integrais
e
e mostre que ambas calculam
.
Calcule o volume
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume
de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde
. Esse sólido é limitado pelos cilindros
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, tanto integrais duplas quanto triplas, para achar esse volume. Vamos montar as integrais e mostrar que ambas dão o mesmo resultado para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dos cilindros:
-
representa um cilindro circular com raio 2 ao redor do eixo . -
representa um cilindro circular com raio 2 ao redor do eixo .
Como estamos no primeiro octante, todos os valores de
são não negativos.
Passo 3
Vamos montar a integral tripla
para calcular o volume. O domínio
é a interseção dos dois cilindros no primeiro octante.
Para isso, fixamos
variando de 0 a 2 (pois
implica
). Para cada
,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
.
Então, a integral tripla fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla
. Aqui,
representa a altura
do sólido para cada ponto
na base.
Sabemos que
está limitado por
, então
.
A região
na base é definida por
de 0 a 2 e
de 0 a
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Resposta
O volume
do sólido no primeiro octante é
unidades cúbicas.
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Calcule a integral indefinida:
Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
Uma certa indústria vende seu produto por
a unidade. O custo da produção total diária (em R$) é dado pela função
100000, sendo
o número de unidades. Se a capacidade de produção mensal for, no máximo, de 15000 unidades, quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que o lucro seja máximo?
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;