Em cada item, monte, quando preciso, e calcule as integrais de acordo com o enunciado.
Calcule o volume V do sólido no primeiro octante ( x, y, z >= 0 ) limitado pelos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+z^2=4. Monte as integrais integral duplaD f(x, y) d A e integral triplaD 1 d V e mostre que ambas calculam V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde . Esse sólido é limitado pelos cilindros e . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, tanto integrais duplas quanto triplas, para achar esse volume. Vamos montar as integrais e mostrar que ambas dão o mesmo resultado para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dos cilindros:
  • representa um cilindro circular com raio 2 ao redor do eixo .
  • representa um cilindro circular com raio 2 ao redor do eixo .
Como estamos no primeiro octante, todos os valores de são não negativos.

Passo 3

Vamos montar a integral tripla V = integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 integral0^raiz4 - x^2 dz , dy , dx para calcular o volume. O domínio é a interseção dos dois cilindros no primeiro octante.
Para isso, fixamos variando de 0 a 2 (pois implica ). Para cada , varia de 0 a e varia de 0 a .
Então, a integral tripla fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a integral0^raiz4 - x^2 dz = raiz4 - x^2 :
integral0^raiz4 - x^2 raiz4 - x^2 , dy = raiz4 - x^2 cdot raiz4 - x^2 = 4 - x^2
Depois, integramos em relação a V = integral0^2 (4 - x^2) , dx = [4x - x^33]0^2 = (8 - 83) - 0 = 163 :
Por fim, integramos em relação a :

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla V = integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 raiz4 - x^2 , dy , dx . Aqui, representa a altura do sólido para cada ponto na base.
Sabemos que está limitado por , então .
A região na base é definida por de 0 a 2 e de 0 a .
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a integral0^raiz4 - x^2 raiz4 - x^2 , dy = raiz4 - x^2 cdot raiz4 - x^2 = 4 - x^2 :
V = integral0^2 (4 - x^2) , dx = [4x - x^33]0^2 = (8 - 83) - 0 = 163
Depois, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.

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