Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisarmos a função
. O que precisamos fazer é encontrar os pontos críticos, descobrir onde a função está crescente ou decrescente, identificar máximos e mínimos locais, analisar a concavidade da curva, encontrar pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas em cálculo.
Passo 2
Primeiro, para achar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função e ver onde ela é zero ou não existe. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.
A função é
. Podemos reescrevê-la como
para facilitar a derivação usando a regra da cadeia.
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe.
- Derivada igual a zero:
- Derivada não existe: A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Isso acontece quando , ou seja, .
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento analisando o sinal da derivada
.
-
Para
entre -4 e 0 ( ): O numeradoré positivo (já que é negativo) e o denominador é positivo. Então, . A função está crescente nesse intervalo. -
Para
entre 0 e 4 ( ): O numeradoré negativo (já que é positivo) e o denominador continua positivo. Assim, . A função está decrescente nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais. Nos pontos críticos, a função pode ter máximos ou mínimos.
-
Em
e : A funçãoé definida apenas para . Em e , . Esses são os pontos mais baixos do gráfico, mas não há máximos ou mínimos locais, pois são extremos do domínio. -
Em
: A derivada muda de positiva para negativa passando por, indicando que é um ponto de máximo local. Calculando . Portanto, há um máximo local em .
Passo 6
Vamos analisar a concavidade da função calculando a segunda derivada
.
Primeiro, temos
. Derivando novamente:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
A segunda derivada é sempre negativa para
, o que significa que a função é concava para baixo em todo o seu domínio.
Passo 7
Finalmente, vamos verificar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Como a concavidade é sempre para baixo e não há mudança, não há pontos de inflexão nessa função.
Resposta
a) Pontos Críticos:
,
e
.
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Crescente em
- Decrescente em
c) Pontos de Máximo e Mínimo Locais:
- Máximo local em
- Mínimos nos pontos
e (extremos do domínio)
d) Concavidade: Concava para baixo em todo o domínio
.
e) Pontos de Inflexão: Nenhum.
f) Esboço do Gráfico: A função representa a parte superior de um círculo com raio 4, centrado na origem. Tem um máximo em
e toca o eixo x nos pontos
e
, com concavidade para baixo.
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.
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e pelo plano
.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;