Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de
em relação a
. Isso envolve técnicas de integração de funções trigonométricas, então vamos usar algumas identidades trigonométricas e substituições para simplificar a expressão e encontrar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que temos
e
multiplicados. Podemos reescrever isso como
. Isso ajuda a separar os termos para facilitar a integração.
Passo 3
Lembrando da identidade trigonométrica
e
, vamos aplicar uma dessas para simplificar a expressão. Vamos escolher
:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integração. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
��:
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original substituindo
:
Podemos simplificar os coeficientes para deixar mais limpo:
Resposta
A integral indefinida é:
onde
é a constante de integração.