Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de
em relação a
. Isso envolve técnicas de integração de funções trigonométricas, então vamos usar algumas identidades trigonométricas e substituições para simplificar a expressão e encontrar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que temos
e
multiplicados. Podemos reescrever isso como
. Isso ajuda a separar os termos para facilitar a integração.
Passo 3
Lembrando da identidade trigonométrica
e
, vamos aplicar uma dessas para simplificar a expressão. Vamos escolher
:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integração. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
��:
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original substituindo
:
Podemos simplificar os coeficientes para deixar mais limpo:
Resposta
A integral indefinida é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de
. O material para a base e a tampa do recipiente custa
por
. Quais as dimensões do recipiente de menor custo?
Em cada item, monte, quando preciso, e calcule as integrais de acordo com o enunciado.
Calcule o volume do sólido no primeiro octante (
) limitado pelos cilindros
e
. Monte as integrais
e
e mostre que ambas calculam
.
Calcule o volume
Uma certa indústria vende seu produto por
a unidade. O custo da produção total diária (em R$) é dado pela função
100000, sendo
o número de unidades. Se a capacidade de produção mensal for, no máximo, de 15000 unidades, quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que o lucro seja máximo?