Calcule a integral indefinida: integral sen^3(1-2 theta) cos ^3(1-2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de sin^3(1-2theta) cos^3(1-2theta) em relação a theta. Isso envolve técnicas de integração de funções trigonométricas, então vamos usar algumas identidades trigonométricas e substituições para simplificar a expressão e encontrar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos e multiplicados. Podemos reescrever isso como . Isso ajuda a separar os termos para facilitar a integração.

Passo 3

Lembrando da identidade trigonométrica sin^3(1-2theta) cos^3(1-2theta) = sin(1-2theta) cdot (1 - cos^2(1-2theta)) cdot cos^3(1-2theta) e , vamos aplicar uma dessas para simplificar a expressão. Vamos escolher :

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integração. Vamos deixar dudtheta = -2sin(1-2theta) implies dtheta = du-2sin(1-2theta) . Então, a derivada de integral sin(1-2theta) cdot (1 - u^2) cdot u^3 cdot du-2sin(1-2theta) = -12 integral u^3 (1 - u^2) du em relação a ��:
Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
-12 integral (u^3 - u^5) du
Integrando termo a termo:
-12 ( u^44 - u^66 ) + C
Simplificando:
-u^48 + u^612 + C

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original substituindo -cos^4(1-2theta)8 + cos^6(1-2theta)12 + C :
-3cos^4(1-2theta)24 + 2cos^6(1-2theta)24 + C = 2cos^6(1-2theta) - 3cos^4(1-2theta)24 + C
Podemos simplificar os coeficientes para deixar mais limpo:

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^3(1-2theta) cos^3(1-2theta) , dtheta = 2cos^6(1-2theta) - 3cos^4(1-2theta)24 + C
onde é a constante de integração.

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