Uma certa indústria vende seu produto por
a unidade. O custo da produção total diária (em R$) é dado pela função
100000, sendo
o número de unidades. Se a capacidade de produção mensal for, no máximo, de 15000 unidades, quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que o lucro seja máximo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma indústria que vende cada produto por R$ 100,00. O custo total de produção por dia é dado pela função
, onde
é o número de unidades produzidas. A capacidade máxima de produção mensal é de 15.000 unidades. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas unidades devem ser fabricadas e vendidas por mês para que o lucro seja o maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções de custo, receita e lucro, além de derivadas para encontrar o ponto de máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função de receita. A receita é o quanto a empresa ganha vendendo seus produtos. Se cada unidade é vendida por R$ 100,00, a receita
é simplesmente o preço por unidade multiplicado pela quantidade vendida:
Passo 3
Agora, vamos definir a função de lucro. O lucro é a diferença entre a receita e o custo total de produção. Então, a função lucro
fica:
Simplificando isso:
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, precisamos maximizar a função lucro. Isso envolve encontrar o valor de
que torna
o maior possível. Como a função é um polinômio de segundo grau com coeficiente negativo, sabemos que ela tem um ponto máximo.
Passo 5
Vamos usar o conceito de derivadas para encontrar esse ponto. A derivada da função lucro
em relação a
nos dá a taxa de variação do lucro. Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 6
Verificamos se esse valor está dentro da capacidade máxima de produção, que é de 15.000 unidades. Como 10.000 é menor que 15.000, está tudo certo!
Resposta
Para maximizar o lucro, devem ser fabricadas e vendidas mensalmente 10.000 unidades.
Exercícios relacionados
Em cada item, monte, quando preciso, e calcule as integrais de acordo com o enunciado.
Calcule o volume do sólido no primeiro octante (
) limitado pelos cilindros
e
. Monte as integrais
e
e mostre que ambas calculam
.
Calcule o volume
Calcule a integral indefinida:
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Exercícios diversos.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano , abaixo do plano
; e limitado lateralmente pelo cilindro
e pelo plano
.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano