Uma certa indústria vende seu produto por
a unidade. O custo da produção total diária (em R$) é dado pela função
100000, sendo
o número de unidades. Se a capacidade de produção mensal for, no máximo, de 15000 unidades, quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que o lucro seja máximo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma indústria que vende cada produto por R$ 100,00. O custo total de produção por dia é dado pela função
, onde
é o número de unidades produzidas. A capacidade máxima de produção mensal é de 15.000 unidades. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas unidades devem ser fabricadas e vendidas por mês para que o lucro seja o maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções de custo, receita e lucro, além de derivadas para encontrar o ponto de máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função de receita. A receita é o quanto a empresa ganha vendendo seus produtos. Se cada unidade é vendida por R$ 100,00, a receita
é simplesmente o preço por unidade multiplicado pela quantidade vendida:
Passo 3
Agora, vamos definir a função de lucro. O lucro é a diferença entre a receita e o custo total de produção. Então, a função lucro
fica:
Simplificando isso:
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, precisamos maximizar a função lucro. Isso envolve encontrar o valor de
que torna
o maior possível. Como a função é um polinômio de segundo grau com coeficiente negativo, sabemos que ela tem um ponto máximo.
Passo 5
Vamos usar o conceito de derivadas para encontrar esse ponto. A derivada da função lucro
em relação a
nos dá a taxa de variação do lucro. Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 6
Verificamos se esse valor está dentro da capacidade máxima de produção, que é de 15.000 unidades. Como 10.000 é menor que 15.000, está tudo certo!
Resposta
Para maximizar o lucro, devem ser fabricadas e vendidas mensalmente 10.000 unidades.