Uma certa indústria vende seu produto por R a unidade. O custo da produção total diária (em R$) é dado pela função a unidade O custo da produção total diária em R$ 100000, sendo C(x) = 0,0025 x^2 + 50 x + o número de unidades. Se a capacidade de produção mensal for, no máximo, de 15000 unidades, quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que o lucro seja máximo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma indústria que vende cada produto por R$ 100,00. O custo total de produção por dia é dado pela função , onde é o número de unidades produzidas. A capacidade máxima de produção mensal é de 15.000 unidades. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas unidades devem ser fabricadas e vendidas por mês para que o lucro seja o maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções de custo, receita e lucro, além de derivadas para encontrar o ponto de máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função de receita. A receita é o quanto a empresa ganha vendendo seus produtos. Se cada unidade é vendida por R$ 100,00, a receita é simplesmente o preço por unidade multiplicado pela quantidade vendida:

Passo 3

Agora, vamos definir a função de lucro. O lucro é a diferença entre a receita e o custo total de produção. Então, a função lucro fica:
Simplificando isso:

Passo 4

Para encontrar o lucro máximo, precisamos maximizar a função lucro. Isso envolve encontrar o valor de que torna o maior possível. Como a função é um polinômio de segundo grau com coeficiente negativo, sabemos que ela tem um ponto máximo.

Passo 5

Vamos usar o conceito de derivadas para encontrar esse ponto. A derivada da função lucro em relação a nos dá a taxa de variação do lucro. Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
Igualando a zero:

Passo 6

Verificamos se esse valor está dentro da capacidade máxima de produção, que é de 15.000 unidades. Como 10.000 é menor que 15.000, está tudo certo!

Resposta

Para maximizar o lucro, devem ser fabricadas e vendidas mensalmente 10.000 unidades.

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