Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial: dy/dx = (4y - 3x) / (2x - y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial é homogênea e, depois, resolvê-la. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e usar uma substituição que simplifica a equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se o grau do numerador e do denominador forem iguais, ou seja, se todas as variáveis tiverem o mesmo poder.
No nosso caso, no numerador , tanto quanto estão elevados a 1. No denominador , também temos e elevados a 1. Como os graus são iguais, a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Isso significa que . Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos isolar :
Vamos simplificar o lado direito:
Então, temos:

Passo 6

Vamos separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados.

Passo 7

Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Fatorando o denominador:
Então, temos:
Podemos usar frações parciais para integrar essa expressão.

Passo 8

Vamos expressar em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Vamos encontrar e :
Para :
Para :
Então,

Passo 9

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Vamos substituir de volta na equação:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 4 para facilitar:
Onde .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é a constante de integração.

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