Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial é homogênea e, depois, resolvê-la. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e usar uma substituição que simplifica a equação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se o grau do numerador e do denominador forem iguais, ou seja, se todas as variáveis tiverem o mesmo poder.
No nosso caso, no numerador , tanto quanto estão elevados a 1. No denominador , também temos e elevados a 1. Como os graus são iguais, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Isso significa que . Vamos derivar em relação a :
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos isolar :
Vamos simplificar o lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Vamos separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados.
Passo 7
Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Fatorando o denominador:
Então, temos:
Podemos usar frações parciais para integrar essa expressão.
Passo 8
Vamos expressar em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Vamos encontrar e :
Para :
Para :
Então,
Passo 9
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.
Passo 10
Vamos substituir de volta na equação:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 4 para facilitar:
Onde .
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por: