Em cada item, mostre que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e depois encontre todos os números
que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida no intervalo
. A gente precisa mostrar que essa função atende às três condições do Teorema de Rolle nesse intervalo e, depois, encontrar todos os números
que satisfazem a conclusão desse teorema. Para isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, diferenciáveis e como aplicar o Teorema de Rolle.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua no intervalo fechado
. Uma função é contínua se não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. A função
é contínua para
e
também é uma função contínua em todo lugar. Como a combinação das duas funções (subtração) também é contínua, podemos afirmar que
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é diferenciável no intervalo aberto
. Uma função é diferenciável se a sua derivada existe em todos os pontos do intervalo. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Como ambas as derivadas existem e são contínuas em
, a função
também é diferenciável nesse intervalo.
Passo 4
Vamos verificar a última condição do Teorema de Rolle:
. Aqui,
e
. Calculando:
Então,
, satisfazendo a terceira condição do teorema.
Passo 5
Como todas as três condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas, sabemos que existe pelo menos um número
em
tal que a derivada da função nesse ponto é zero, ou seja,
.
Vamos encontrar esse
:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para
:
Resposta
O número
que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle é
.
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(h)
(h)
Encontre os pontos críticos da função dada:
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, no intervalo