Em cada item, mostre que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e depois encontre todos os números que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo . A gente precisa mostrar que essa função atende às três condições do Teorema de Rolle nesse intervalo e, depois, encontrar todos os números que satisfazem a conclusão desse teorema. Para isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, diferenciáveis e como aplicar o Teorema de Rolle.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no intervalo fechado . Uma função é contínua se não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. A função é contínua para e também é uma função contínua em todo lugar. Como a combinação das duas funções (subtração) também é contínua, podemos afirmar que é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é diferenciável no intervalo aberto . Uma função é diferenciável se a sua derivada existe em todos os pontos do intervalo. A derivada de é e a derivada de é . Como ambas as derivadas existem e são contínuas em , a função também é diferenciável nesse intervalo.

Passo 4

Vamos verificar a última condição do Teorema de Rolle: . Aqui, e . Calculando:
Então, , satisfazendo a terceira condição do teorema.

Passo 5

Como todas as três condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas, sabemos que existe pelo menos um número em tal que a derivada da função nesse ponto é zero, ou seja, .
Vamos encontrar esse :
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :

Resposta

O número que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle é .

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(h)
Encontre os pontos críticos da função dada:
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, no intervalo