Encontre os pontos críticos da função dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebe a função
e precisa encontrar os pontos críticos dela. Isso está ligado ao estudo de derivadas, especificamente quando queremos saber onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero ou não está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um ponto crítico ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de
.
Passo 3
A função é
. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que
. Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos
a zero:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Isso nos dá duas equações:
Vamos analisar cada uma:
Passo 8
Para
: A função
não está definida em
, então esse valor não é válido.
Passo 9
Para
:
Exponenciando ambos os lados:
Resposta
O ponto crítico da função
está em
(aproximadamente 0,6065).
Exercícios relacionados
Em cada item, mostre que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e depois encontre todos os números
que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle:
Encontre os pontos críticos da função dada:
Encontre os pontos críticos da função dada:
, no intervalo
No espaço, considere o eixo
como sendo um fio infinito com uma corrente contínua fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos diz que tal corrente produz um campo magnético da forma
exceto por um múltiplo constante. Seja
uma curva fechada suave e simples (sem auto interseções) que circunda o eixo
. Mostre que a menos de orientação