Encontre os pontos críticos da função dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebe a função e precisa encontrar os pontos críticos dela. Isso está ligado ao estudo de derivadas, especificamente quando queremos saber onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero ou não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um ponto crítico ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de .

Passo 3

A função é . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que . Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a zero:
Podemos fatorar :

Passo 7

Isso nos dá duas equações:
Vamos analisar cada uma:

Passo 8

Para : A função não está definida em , então esse valor não é válido.

Passo 9

Para :
Exponenciando ambos os lados:

Resposta

O ponto crítico da função está em (aproximadamente 0,6065).

Exercícios relacionados

Em cada item, mostre que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e depois encontre todos os números que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle:
Encontre os pontos críticos da função dada:
Encontre os pontos críticos da função dada:
, no intervalo
No espaço, considere o eixo como sendo um fio infinito com uma corrente contínua fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos diz que tal corrente produz um campo magnético da forma
exceto por um múltiplo constante. Seja uma curva fechada suave e simples (sem auto interseções) que circunda o eixo . Mostre que a menos de orientação