Encontre os pontos críticos da função dada:
g(x) = x^2 * ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebe a função e precisa encontrar os pontos críticos dela. Isso está ligado ao estudo de derivadas, especificamente quando queremos saber onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero ou não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um ponto crítico ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de .

Passo 3

A função é . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que . Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a zero:
Podemos fatorar :

Passo 7

Isso nos dá duas equações:
Vamos analisar cada uma:

Passo 8

Para : A função não está definida em , então esse valor não é válido.

Passo 9

Para :
Exponenciando ambos os lados:

Resposta

O ponto crítico da função está em (aproximadamente 0,6065).

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