Usando o método de integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. O problema que temos é calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos precisar entender como funciona a integração por partes e identificar quais partes da nossa função serão e .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . A escolha certa facilita a resolução. Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar, e como a parte que é fácil de integrar.
No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos simplificar essa expressão. Observe que:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, retornando à nossa expressão original da integração por partes:
Simplificando:

Passo 7

Para deixar a expressão mais limpa, vamos combinar os termos:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Onde é uma constante de integração ajustada.

Passo 8

Finalmente, reorganizando os termos e simplificando:

Resposta

A integral indefinida é:

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(f)
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