Encontre os pontos críticos da função dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos críticos da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de em relação a é .
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos saber onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe.
Começamos igualando a derivada a zero:

Passo 4

Vamos resolver a equação para :
Para resolver , lembramos que . Portanto:

Passo 5

Além disso, precisamos verificar se há algum ponto onde a derivada não existe. A função é uma função composta por funções diferenciáveis (polinomial e exponencial), então sua derivada existe para todo real. Assim, não há pontos críticos por falta de derivada.

Resposta

O único ponto crítico da função é quando . Portanto, o ponto crítico é:

Exercícios relacionados

Usando o método de integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas.
(h)
Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(f)
Em cada item, mostre que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e depois encontre todos os números que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle:
Encontre os pontos críticos da função dada: