Em cada item reescreva a sequência exibindo os cinco primeiros termos. Logo após verifique se a sequência é convergente ou diverge, caso seja convergente calcule qual é o valor para o qual ela convèrge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que é definida por . O objetivo é reescrever os cinco primeiros termos dessa sequência e depois verificar se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme n aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se convergir, a gente também vai descobrir para qual valor ela está convergindo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os cinco primeiros termos da sequência. Isso significa substituir n por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão da sequência.
  • Para n = 1:
  • Para n = 2:
  • Para n = 3:
  • Para n = 4:
  • Para n = 5:
Então, os cinco primeiros termos da sequência são: 3, 1,5, aproximadamente 1,1111, 0,9375 e 0,84.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, precisamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito. Se o limite existir e for um número finito, a sequência é convergente e sobe para esse número. Se não, ela é divergente.
Vamos calcular o limite:
Primeiro, vamos expandir o numerador:
Então, a expressão fica:
Agora, vamos analisar cada termo conforme n cresce:
  • continua sendo .
  • tende a 0, já que n fica muito grande.
  • também tende a 0.
Então, o limite é:
Como o limite existe e é igual a , a sequência é convergente e converge para .

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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Em cada item reescreva a sequência exibindo os cinco primeiros termos. Logo após verifique se a sequência é convergente ou diverge, caso seja convergente calcule qual é o valor para o qual ela convèrge.
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