Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar no plano complexo o conjunto dos números
que satisfazem a desigualdade
. Basicamente, estamos trabalhando com módulo de números complexos, que nos ajuda a entender distâncias no plano complexo. Vamos precisar lembrar como interpretar essas distâncias e o que significa representar conjuntos de números complexos geometricamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. No plano complexo, cada número
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. O módulo de um número complexo
representa a distância desse número até a origem (0,0) no plano.
Aqui, temos
. Podemos reescrever isso como
, o que significa a distância entre o número
e o ponto
no plano complexo.
Passo 3
Agora, a desigualdade
está nos dizendo que queremos todos os pontos
cuja distância até
é maior que 1 e menor que 2. Geometricamente, isso descreve uma região em forma de anel (ou anel de Lagrange) no plano complexo.
Passo 4
Para representar isso no plano complexo, vamos desenhar dois círculos:
- Círculo interno: Com centro em
e raio 1. Todos os pontos dentro deste círculo têm distância menor que 1 de . - Círculo externo: Com o mesmo centro
e raio 2. Todos os pontos fora deste círculo têm distância maior que 2 de .
Passo 5
Como nossa desigualdade é
, queremos os pontos que estão fora do círculo interno e dentro do círculo externo. Ou seja, a região entre os dois círculos.
Passo 6
Portanto, a representação gráfica será um anel com centro em
, onde o limite interno tem raio 1 e o limite externo tem raio 2. Todos os pontos dentro deste anel satisfazem a desigualdade dada.
Resposta
A região no plano complexo que representa
é um anel com centro no ponto
, abrangendo todos os pontos cuja distância a esse centro é maior que 1 e menor que 2.