Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar no plano complexo o conjunto dos números que satisfazem a desigualdade . Basicamente, estamos trabalhando com módulo de números complexos, que nos ajuda a entender distâncias no plano complexo. Vamos precisar lembrar como interpretar essas distâncias e o que significa representar conjuntos de números complexos geometricamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . No plano complexo, cada número pode ser escrito como , onde e são números reais. O módulo de um número complexo representa a distância desse número até a origem (0,0) no plano.
Aqui, temos . Podemos reescrever isso como , o que significa a distância entre o número e o ponto no plano complexo.

Passo 3

Agora, a desigualdade está nos dizendo que queremos todos os pontos cuja distância até é maior que 1 e menor que 2. Geometricamente, isso descreve uma região em forma de anel (ou anel de Lagrange) no plano complexo.

Passo 4

Para representar isso no plano complexo, vamos desenhar dois círculos:
  1. Círculo interno: Com centro em e raio 1. Todos os pontos dentro deste círculo têm distância menor que 1 de .
  2. Círculo externo: Com o mesmo centro e raio 2. Todos os pontos fora deste círculo têm distância maior que 2 de .

Passo 5

Como nossa desigualdade é , queremos os pontos que estão fora do círculo interno e dentro do círculo externo. Ou seja, a região entre os dois círculos.

Passo 6

Portanto, a representação gráfica será um anel com centro em , onde o limite interno tem raio 1 e o limite externo tem raio 2. Todos os pontos dentro deste anel satisfazem a desigualdade dada.

Resposta

A região no plano complexo que representa é um anel com centro no ponto , abrangendo todos os pontos cuja distância a esse centro é maior que 1 e menor que 2.

Exercícios relacionados

Mostre que para todo vale que: .
Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo.
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : .