Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de calcular as raízes de quarta ordem do número complexo
. Isso está relacionado ao estudo dos números complexos, especialmente usando a forma polar e a Fórmula de De Moivre. Vamos precisar converter o número complexo para a forma polar, achar sua magnitude e ângulo, e então aplicar a Fórmula de De Moivre para encontrar as raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a magnitude (ou módulo) do número complexo
. A magnitude é dada por:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No nosso caso,
e
. Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ângulo (ou argumento)
do número complexo. Usamos a tangente para isso:
Isso significa que o ângulo está no segundo quadrante, já que a parte real é negativa e a imaginária é positiva. Sabemos que
. Então,
Passo 4
Com a magnitude
e o ângulo
, podemos expressar o número complexo na forma polar:
Passo 5
Agora, para encontrar as raízes de quarta ordem, usamos a Fórmula de De Moivre. As raízes
são dadas por:
onde
. Sabemos que
.
Passo 6
Vamos calcular cada uma das raízes:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As quatro raízes de quarta ordem de
são:
Essas raízes podem ser representadas no plano complexo como pontos nos ângulos respectivos mencionados, todos com a mesma distância do ponto de origem igual a
.
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usando diferenciação implícita:
Mostre que para todo
vale que:
.
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.