Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular as raízes de quarta ordem do número complexo . Isso está relacionado ao estudo dos números complexos, especialmente usando a forma polar e a Fórmula de De Moivre. Vamos precisar converter o número complexo para a forma polar, achar sua magnitude e ângulo, e então aplicar a Fórmula de De Moivre para encontrar as raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a magnitude (ou módulo) do número complexo . A magnitude é dada por:
onde é a parte real e é a parte imaginária. No nosso caso, e . Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo (ou argumento) do número complexo. Usamos a tangente para isso:
Isso significa que o ângulo está no segundo quadrante, já que a parte real é negativa e a imaginária é positiva. Sabemos que . Então,

Passo 4

Com a magnitude e o ângulo , podemos expressar o número complexo na forma polar:

Passo 5

Agora, para encontrar as raízes de quarta ordem, usamos a Fórmula de De Moivre. As raízes são dadas por:
onde . Sabemos que .

Passo 6

Vamos calcular cada uma das raízes:
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

As quatro raízes de quarta ordem de são:
Essas raízes podem ser representadas no plano complexo como pontos nos ângulos respectivos mencionados, todos com a mesma distância do ponto de origem igual a .

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