Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos
:
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer número complexo
, a parte imaginária de
é menor ou igual ao módulo de
. Basicamente, vamos usar as definições de parte imaginária e de módulo de um número complexo para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, lembremos como representar um número complexo. Qualquer
pode ser escrito como:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Então, a parte imaginária de
é simplesmente
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o módulo de
. O módulo, ou valor absoluto, de
é dado por:
Isso representa a distância do ponto
até a origem no plano complexo.
Passo 4
O que precisamos provar é que:
Substituindo as expressões que temos:
Passo 5
Vamos analisar a desigualdade
. Sabemos que
é sempre positivo ou zero, então:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
E como
(já que
é o valor absoluto de
), concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
, a parte imaginária de
é de fato menor ou igual ao módulo de
, ou seja: