Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : .
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer número complexo , a parte imaginária de é menor ou igual ao módulo de . Basicamente, vamos usar as definições de parte imaginária e de módulo de um número complexo para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, lembremos como representar um número complexo. Qualquer pode ser escrito como:
onde é a parte real e é a parte imaginária de . Então, a parte imaginária de é simplesmente .
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o módulo de . O módulo, ou valor absoluto, de é dado por:
Isso representa a distância do ponto até a origem no plano complexo.
Passo 4
O que precisamos provar é que:
Substituindo as expressões que temos:
Passo 5
Vamos analisar a desigualdade . Sabemos que é sempre positivo ou zero, então:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
E como (já que é o valor absoluto de ), concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que para todo , a parte imaginária de é de fato menor ou igual ao módulo de , ou seja: