Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w in C : Im(z) <= |z|.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer número complexo , a parte imaginária de é menor ou igual ao módulo de . Basicamente, vamos usar as definições de parte imaginária e de módulo de um número complexo para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, lembremos como representar um número complexo. Qualquer pode ser escrito como:
onde é a parte real e é a parte imaginária de . Então, a parte imaginária de é simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o módulo de . O módulo, ou valor absoluto, de é dado por:
Isso representa a distância do ponto até a origem no plano complexo.

Passo 4

O que precisamos provar é que:
Substituindo as expressões que temos:

Passo 5

Vamos analisar a desigualdade . Sabemos que é sempre positivo ou zero, então:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
E como (já que é o valor absoluto de ), concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , a parte imaginária de é de fato menor ou igual ao módulo de , ou seja:

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