Mostre que para todo vale que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que, para todo número complexo , a equação é verdadeira se e somente se for igual a , onde é qualquer número inteiro. Vamos usar conceitos de exponenciais de números complexos e identidades trigonométricas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a exponencial de um número complexo funciona. Para qualquer , podemos escrever como , onde e são números reais. A fórmula de Euler nos diz que:
No nosso caso, queremos que . Sabemos que pode ser escrito como , ou seja, a parte real é 1 e a parte imaginária é 0.

Passo 3

Vamos igualar as duas expressões:
Isso significa que tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais. Então, temos duas equações:

Passo 4

Da segunda equação , sabemos que nunca é zero para nenhum número real , então necessariamente .
Isso acontece quando é múltiplo de , ou seja:

Passo 5

Agora, substituímos na primeira equação:
Sabemos que . Então:
Para que isso seja igual a 1, precisamos que e .

Passo 6

Para , o único valor possível é .
E para , deve ser par, ou seja, onde é um número inteiro.

Passo 7

Então, juntando tudo, temos:
Onde é um número inteiro.

Resposta

Para todo , se e somente se , onde é qualquer inteiro.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo.
Encontre a solução do problema de condução de calor
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .