Mostre que para todo
vale que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que, para todo número complexo
, a equação
é verdadeira se e somente se
for igual a
, onde
é qualquer número inteiro. Vamos usar conceitos de exponenciais de números complexos e identidades trigonométricas para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a exponencial de um número complexo funciona. Para qualquer
, podemos escrever
como
, onde
e
são números reais. A fórmula de Euler nos diz que:
No nosso caso, queremos que
. Sabemos que
pode ser escrito como
, ou seja, a parte real é 1 e a parte imaginária é 0.
Passo 3
Vamos igualar as duas expressões:
Isso significa que tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais. Então, temos duas equações:
Passo 4
Da segunda equação
, sabemos que
nunca é zero para nenhum número real
, então necessariamente
.
Isso acontece quando
é múltiplo de
, ou seja:
Passo 5
Agora, substituímos
na primeira equação:
Sabemos que
. Então:
Para que isso seja igual a 1, precisamos que
e
.
Passo 6
Para
, o único valor possível é
.
E para
,
deve ser par, ou seja,
onde
é um número inteiro.
Passo 7
Então, juntando tudo, temos:
Onde
é um número inteiro.
Resposta
Para todo
,
se e somente se
, onde
é qualquer inteiro.
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Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
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