Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para representar no plano complexo todos os números que satisfazem e . Vamos usar conceitos de argumentos de números complexos e trabalhar com desigualdades para chegar à representação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o argumento de um número complexo. Para um número complexo , representado como , o é o ângulo que forma com o eixo real positivo no plano complexo.
Quando elevamos a uma potência, por exemplo, , o argumento se multiplica por 3. Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa propriedade ao nosso problema. A condição dada é:
Substituindo por , temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa desigualdade dividindo ambos os lados por 3:
Isso significa que o argumento de deve estar entre e .
Passo 5
No plano complexo, isso define duas regiões ao redor do eixo real positivo e negativo. Essas regiões são cones com ângulos de abertura (já que vai de até ) em cada direção a partir da origem.
Como , não incluímos o ponto na origem. Assim, os números complexos que satisfazem a condição estão concentrados nas áreas próximas ao eixo real, formando dois “setores” angulares.
Resposta
Os números complexos que satisfazem e estão representados no plano complexo por duas regiões em forma de cones com ângulos de ao redor do eixo real positivo e negativo, excluindo a origem.