Mostre que o conjunto dos números
tais que
representa uma reta no plano complexo. Esboce esta reta.
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o conjunto dos números complexos
que satisfazem a equação
forma uma reta no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre:
- Números complexos:
, onde e são números reais e é a unidade imaginária. - Módulo de um número complexo:
, que representa a distância do ponto à origem no plano complexo. - Propriedades das distâncias: Igualdades entre módulos de números complexos podem representar lugares geométricos como linhas ou círculos.
Vamos passo a passo para mostrar que essa equação representa uma reta.
Passo 2
Expressando
em termos de
e
Primeiro, vamos escrever
como
, onde
e
são números reais.
Substituindo na equação dada:
fica:
Passo 3
Calculando os módulos dos lados
Vamos calcular cada módulo separadamente usando a fórmula
:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, nossa equação fica:
Passo 4
Eliminando as raízes quadradas
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 5
Expandindo e simplificando a equação
Vamos expandir os termos:
Agora, simplificamos cancelando termos iguais dos dois lados:
Subtraindo
e
de ambos os lados:
Passo 6
Isolando as variáveis para obter a equação da reta
Vamos trazer todos os termos com
e
para um lado:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Ou, escrevendo em termos de
:
Passo 7
Identificando a reta e esboçando
A equação
é claramente uma equação linear, o que confirma que o conjunto de números complexos
que satisfazem a condição dada forma uma reta no plano complexo.
Esboço da reta:
Para desenhar essa reta, podemos determinar dois pontos:
- Quando
:
Então, o ponto
.
- Quando
:
Então, o ponto
.
Com esses dois pontos, podemos desenhar a reta no plano complexo.
Resposta
O conjunto dos números complexos
que satisfazem
forma uma reta no plano complexo definida pela equação
. A reta pode ser esboçada conectando os pontos
e
.
Exercícios relacionados
Ache
usando diferenciação implícita:
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
Calcule a derivada de cada função:
Calcule a derivada de cada função: