Mostre que o conjunto dos números tais que representa uma reta no plano complexo. Esboce esta reta.

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o conjunto dos números complexos que satisfazem a equação forma uma reta no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre:
  • Números complexos: , onde e são números reais e é a unidade imaginária.
  • Módulo de um número complexo: , que representa a distância do ponto à origem no plano complexo.
  • Propriedades das distâncias: Igualdades entre módulos de números complexos podem representar lugares geométricos como linhas ou círculos.
Vamos passo a passo para mostrar que essa equação representa uma reta.

Passo 2

Expressando em termos de e
Primeiro, vamos escrever como , onde e são números reais.
Substituindo na equação dada:
fica:

Passo 3

Calculando os módulos dos lados
Vamos calcular cada módulo separadamente usando a fórmula :
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, nossa equação fica:

Passo 4

Eliminando as raízes quadradas
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 5

Expandindo e simplificando a equação
Vamos expandir os termos:
Agora, simplificamos cancelando termos iguais dos dois lados:
Subtraindo e de ambos os lados:

Passo 6

Isolando as variáveis para obter a equação da reta
Vamos trazer todos os termos com e para um lado:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Ou, escrevendo em termos de :

Passo 7

Identificando a reta e esboçando
A equação é claramente uma equação linear, o que confirma que o conjunto de números complexos que satisfazem a condição dada forma uma reta no plano complexo.
Esboço da reta:
Para desenhar essa reta, podemos determinar dois pontos:
  1. Quando :
Então, o ponto .
  1. Quando :
Então, o ponto .
Com esses dois pontos, podemos desenhar a reta no plano complexo.

Resposta

O conjunto dos números complexos que satisfazem forma uma reta no plano complexo definida pela equação . A reta pode ser esboçada conectando os pontos e .

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Ache usando diferenciação implícita:
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Calcule a derivada de cada função:
Calcule a derivada de cada função: