Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
d) nem injetora nem sobrejetora

Passo 1

Beleza, a gente precisa criar um exemplo de uma função que vai dos inteiros para os inteiros, mas que não seja injetora nem sobrejetora. Isso significa que a função vai repetir alguns valores de saída para diferentes entradas e, além disso, não vai conseguir alcançar todos os possíveis números inteiros como resultados. Para isso, vamos lembrar o que são funções injetoras e sobrejetoras e construir uma fórmula que atenda a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente os conceitos:
  • Função Injetora: Cada elemento do conjunto de saída é mapeado por no máximo um elemento do conjunto de entrada. Em outras palavras, não tem dois números diferentes que dão o mesmo resultado.
  • Função Sobrejetora: Todo elemento do conjunto de saída é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de entrada. Ou seja, a função cobre todo o conjunto de saída.
Agora, queremos uma função que não seja injetora (ou seja, que repita valores) e não seja sobrejetora (que não cubra todos os inteiros como saída).

Passo 3

Vamos escolher uma função simples que atende a esses critérios. Considere a função , onde é um número inteiro.

Passo 4

Vamos verificar se é injetora:
  • Se pegarmos e , temos: Ou seja, , então a função repete o valor 4 para diferentes entradas. Portanto, não é injetora.
Agora, vamos verificar se é sobrejetora:
  • A função só produz números inteiros não negativos (0, 1, 4, 9, …). Por exemplo, não tem nenhum inteiro que satisfaça .
    Portanto, nem todos os inteiros são alcançados como resultados, o que significa que não é sobrejetora.

Resposta

Um exemplo de função que não é injetora nem sobrejetora é .

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Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
b) sobrejetora mas não injetora
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Encontre os seguintes valores
a)